Escolha APENAS UMA das questões listadas abaixo.
Uma cultura de bactérias começa com 1000 bactérias e a taxa de crescimento é proporcional ao número de bactérias. Depois de 2 horas a população é de 9000 bactérias. Encontre uma expressão para o número de bactérias de pois de
horas.
Uma cultura de bactérias começa com 1000 bactérias e a taxa de crescimento é proporcional ao número de bactérias. Depois de 2 horas a população é de 9000 bactérias. Encontre uma expressão para o número de bactérias de pois de
Passo 1
O enunciado diz que uma cultura de bactérias cresce a uma taxa proporcional ao número de bactérias. Isso caracteriza um modelo de crescimento exponencial, descrito pela equação diferencial
onde
é o número de bactérias no tempo
e
é a constante de proporcionalidade que precisamos determinar.
Passo 2
Para resolver
separamos variáveis:
e então integramos dos dois lados:
onde
é a constante de integração.
Passo 3
Exponenciando, obtemos a solução geral
com
. Como no início (
) temos
, segue que
logo
Passo 4
Usamos a condição
:
Passo 5
Substituindo
em
, obtemos