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Uma cultura de bactérias começa com 1000 bactérias e a taxa de crescimento é proporcional ao número de bactérias. Depois de 2 horas a população é de 9000 bactérias. Encontre uma expressão para o número de bactérias de pois de t horas.

Passo 1

O enunciado diz que uma cultura de bactérias cresce a uma taxa proporcional ao número de bactérias. Isso caracteriza um modelo de crescimento exponencial, descrito pela equação diferencial
dNdt=k,N,
onde N(t) é o número de bactérias no tempo t e k é a constante de proporcionalidade que precisamos determinar.

Passo 2

Para resolver
dNdt=k,N,
separamos variáveis:
dNN=k,dt,
e então integramos dos dois lados:
integraldNN=integral k,dt Longrightarrow ln|N|=k,t+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 3

Exponenciando, obtemos a solução geral
N(t)=A,e^k,t,
com A=e^C. Como no início ( t=0) temos N(0)=1000, segue que
1000=A,e^kcdot0=A,
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N(t)=1000,e^k,t

Passo 4

Usamos a condição N(2)=9000:
9000=1000,e^2k Longrightarrow e^2k=9 Longrightarrow 2k=ln(9) Longrightarrow k=ln(9)2=ln(3)

Passo 5

Substituindo k=ln(3) em N(t)=1000,e^k,t, obtemos
N(t)=1000,e^(ln 3),t =1000cdot 3^t

Resposta

N(t)=1000cdot 3^t

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