Dizemos que uma funçāo f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R} é par se f(x)=f(-x), para todo x \in \mathbb{R} e dizemos que f é ímpar se f(-x)=-f(x), para todo x \in \mathbf{R}. Suponha que f é uma funçāo diferenciável. Mostre que:
Se f é ímpar, entāo f^{\prime} é par.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma demonstração:
  • Dado: f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} é diferenciável (isto significa que f' existe em todo ponto de \mathbb{R}).
  • Dado: f é ímpar, ou seja, para todo x\in\mathbb{R} vale
f(-x)=-f(x).
  • Objetivo: Mostrar que f' é par, isto é, mostrar que para todo x\in\mathbb{R}
f'(-x)=f'(x).

Passo 2

Vamos lembrar uma ferramenta que vamos usar: a regra da cadeia. Ela diz o seguinte.
Se F(x)=f(g(x)) e f e g são diferenciáveis onde for preciso, então a derivada de F em x é dada por
F'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x).
Explicando as letras: g(x) é a função interna, f é a função externa; f'(g(x)) é a derivada de f avaliada no ponto g(x); e g'(x) é a derivada da função interna no ponto x. Um exemplo simples: se g(x)=-x então g'(x)=-1.

Passo 3

Aplique a regra da cadeia à função h(x)=f(-x). Aqui a função externa é f e a função interna é g(x)=-x. Como f é diferenciável e g também, pela regra da cadeia temos, para todo x\in\mathbb{R},
\frac{d}{dx}f(-x)=f'(-x)\cdot\frac{d}{dx}(-x)=f'(-x)\cdot(-1).
Ou seja,
\frac{d}{dx}f(-x)=-\,f'(-x).

Passo 4

Use agora a propriedade de que f é ímpar: f(-x)=-f(x). Como as duas funções x\mapsto f(-x) e x\mapsto -f(x) são iguais para todo x, suas derivadas também são iguais para todo x. A derivada do lado direito é imediata (derivada de -f(x) é -f'(x)), então obtemos
\frac{d}{dx}f(-x)=\frac{d}{dx}\bigl(-f(x)\bigr)=-\,f'(x).

Passo 5

Agora iguale as duas expressões obtidas para \frac{d}{dx}f(-x). Pelo Passo 3 temos \frac{d}{dx}f(-x)=-f'(-x). Pelo Passo 4 temos \frac{d}{dx}f(-x)=-f'(x). Portanto, para todo x\in\mathbb{R},
-\,f'(-x)=-\,f'(x).

Passo 6

Multiplicando a igualdade do Passo 5 por -1 (isso é legal para todos os x), concluímos
f'(-x)=f'(x)\qquad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.
Isto é exatamente a definição de função par aplicada a f'. Assim f' é par.

Passo 7

Um exemplo rápido para fixar a intuição: tome f(x)=x^3 (que é ímpar). Então f'(x)=3x^2, que é par porque 3(-x)^2=3x^2. Outro exemplo: f(x)=\sin x é ímpar e f'(x)=\cos x é par.

Resposta

f'(-x)=f'(x) para todo x\in\mathbb{R}, ou seja, f' é par.

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