Dizemos que uma funçāo
é par se
, para todo
e dizemos que
é ímpar se
, para todo
. Suponha que
é uma funçāo diferenciável. Mostre que:
Se
é ímpar, entāo
é par.
Se
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma demonstração:
- Dado:
é diferenciável (isto significa que existe em todo ponto de ). - Dado:
é ímpar, ou seja, para todo vale
- Objetivo: Mostrar que
é par, isto é, mostrar que para todo
Passo 2
Vamos lembrar uma ferramenta que vamos usar: a regra da cadeia. Ela diz o seguinte.
Se
e
e
são diferenciáveis onde for preciso, então a derivada de
em
é dada por
Explicando as letras:
é a função interna,
é a função externa;
é a derivada de
avaliada no ponto
; e
é a derivada da função interna no ponto
. Um exemplo simples: se
então
.
Passo 3
Aplique a regra da cadeia à função
. Aqui a função externa é
e a função interna é
. Como
é diferenciável e
também, pela regra da cadeia temos, para todo
,
Ou seja,
Passo 4
Use agora a propriedade de que
é ímpar:
. Como as duas funções
e
são iguais para todo
, suas derivadas também são iguais para todo
. A derivada do lado direito é imediata (derivada de
é
), então obtemos
Passo 5
Agora iguale as duas expressões obtidas para
. Pelo Passo 3 temos
. Pelo Passo 4 temos
. Portanto, para todo
,
Passo 6
Multiplicando a igualdade do Passo 5 por
(isso é legal para todos os
), concluímos
Isto é exatamente a definição de função par aplicada a
. Assim
é par.
Passo 7
Um exemplo rápido para fixar a intuição: tome
(que é ímpar). Então
, que é par porque
. Outro exemplo:
é ímpar e
é par.