Dizemos que uma função f: A \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} é Lipschtziana se existe K>0 tal que, para todo x, y \in A, tem-se que |f(x)-f(y)| \leq K|x-y|. Mostre que
Se f, g: X \rightarrow \mathbb{R} são Lipschitzianas, então f+g é Lipschitziana.

Passo 1

O enunciado diz que f e g são funções Lipschitzianas em X\subset\mathbb{R}. Nosso objetivo é mostrar que a soma f+g também satisfaz uma desigualdade do tipo
\bigl|(f+g)(x)-(f+g)(y)\bigr|\le K\,|x-y|
para algum K>0. Para isso, vamos usar a definição de função Lipschitziana e a desigualdade triangular.

Passo 2

Como f é Lipschitziana, existe uma constante K_f>0 tal que, para todo x,y\in X,
|f(x)-f(y)|\le K_f\,|x-y|.
De modo análogo, como g é Lipschitziana, existe K_g>0 com
|g(x)-g(y)|\le K_g\,|x-y|
para todos x,y\in X.

Passo 3

Para quaisquer x,y\in X, calculemos a diferença de (f+g):
\bigl|(f+g)(x)-(f+g)(y)\bigr| =\bigl|\,f(x)-f(y)+g(x)-g(y)\bigr|.
Aplicando a desigualdade triangular, obtemos
\bigl|(f+g)(x)-(f+g)(y)\bigr| \le |f(x)-f(y)|+|g(x)-g(y)|.
Agora usamos as desigualdades de Lipschitz para f e g:
|f(x)-f(y)|+|g(x)-g(y)| \le K_f\,|x-y|+K_g\,|x-y| =(K_f+K_g)\,|x-y|.

Passo 4

Logo,
\bigl|(f+g)(x)-(f+g)(y)\bigr|\le (K_f+K_g)\,|x-y|
para todo x,y\in X. Portanto, f+g é Lipschitziana com constante
K = K_f + K_g.

Resposta

A soma f+g é Lipschitziana em X com constante K = K_f + K_g.

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