Verifique, pela definição, que as funções abaixo são contínuas:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, pela definição de continuidade, que
é contínua em todo o domínio
. Lembrando que
é contínua em
se, para todo
, existe
tal que
Vamos verificar esse critério em dois casos:
e
.
Passo 2
Caso
. Dado
, queremos
perto de
. Note que
Basta então escolher
De fato, se
, então
e
Isso mostra que
é contínua em
.
Passo 3
Caso
. Dado
, vamos controlar
Usamos a fatoração conjugada:
Queremos tornar esse quociente menor que
. Primeiro, imponha
de modo que
e então
. Assim, sempre que
, vale
Para assegurar
, basta exigir
Logo, escolhendo
garantimos que
implica
. Isso prova continuidade em qualquer
.
Resposta
A função
é contínua em todo o domínio
.