Verifique, pela definição, que as funções abaixo são contínuas:
f(x)=\sqrt{x}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, pela definição de continuidade, que
f(x)=\sqrt{x}
é contínua em todo o domínio [0,\infty). Lembrando que f é contínua em a se, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que
|x-a|<\delta\quad\Longrightarrow\quad\bigl|f(x)-f(a)\bigr|<\varepsilon.
Vamos verificar esse critério em dois casos: a=0 e a>0.

Passo 2

Caso a=0. Dado \varepsilon>0, queremos \sqrt{x} perto de \sqrt{0}=0. Note que
\bigl|\sqrt{x}-0\bigr|=\sqrt{x}.
Basta então escolher
\delta=\varepsilon^{2}.
De fato, se |x-0|<\delta, então 0\le x<\varepsilon^{2} e
\bigl|\sqrt{x}-0\bigr|=\sqrt{x}<\sqrt{\varepsilon^{2}}=\varepsilon.
Isso mostra que f é contínua em 0.

Passo 3

Caso a>0. Dado \varepsilon>0, vamos controlar
\bigl|\sqrt{x}-\sqrt{a}\bigr|.
Usamos a fatoração conjugada:
\bigl|\sqrt{x}-\sqrt{a}\bigr| =\frac{|x-a|}{\sqrt{x}+\sqrt{a}}.
Queremos tornar esse quociente menor que \varepsilon. Primeiro, imponha
\delta\le a,
de modo que x\ge a-\delta\ge 0 e então \sqrt{x}+\sqrt{a}\ge \sqrt{a}. Assim, sempre que |x-a|<\delta\le a, vale
\bigl|\sqrt{x}-\sqrt{a}\bigr| \le\frac{|x-a|}{\sqrt{a}}.
Para assegurar \bigl|\sqrt{x}-\sqrt{a}\bigr|<\varepsilon, basta exigir
\frac{|x-a|}{\sqrt{a}}<\varepsilon \quad\Longleftrightarrow\quad |x-a|<\varepsilon\,\sqrt{a}.
Logo, escolhendo
\delta=\min\bigl\{a,\;\varepsilon\sqrt{a}\bigr\},
garantimos que |x-a|<\delta implica \bigl|\sqrt{x}-\sqrt{a}\bigr|<\varepsilon. Isso prova continuidade em qualquer a>0.

Resposta

A função f(x)=\sqrt{x} é contínua em todo o domínio [0,\infty).

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