Verifique, pela definição, que as funções abaixo são contínuas:
f(x)=3 x-2

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos, usando a definição de limite ( \epsilon \delta), que a função
f(x)=3x-2
é contínua em todo ponto a\in\mathbb{R}. O conteúdo aqui é a definição de continuidade:
\lim_{x\to a}f(x)=f(a).

Passo 2

Recordando a definição: dizemos que f é contínua em a se, para todo \varepsilon>0, existir \delta>0 tal que
|x-a|<\delta \quad\Longrightarrow\quad |f(x)-f(a)|<\varepsilon.

Passo 3

Seja a um ponto arbitrário em \mathbb{R}. Vamos estimar |f(x)-f(a)|. Temos
f(x)-f(a) = (3x-2) - (3a-2) = 3(x-a),
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|f(x)-f(a)| = |3(x-a)| = 3\,|x-a|.

Passo 4

Dado um \varepsilon>0, basta escolher
\delta = \frac{\varepsilon}{3}.
Então, se |x-a|<\delta, segue
|f(x)-f(a)| = 3\,|x-a| < 3\,\delta = 3\cdot\frac{\varepsilon}{3} = \varepsilon.
Isso mostra que \lim_{x\to a}f(x)=f(a).

Resposta

A função f(x)=3x-2 é contínua em todo \mathbb{R}.

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