3- Sabe-se que 5 \%(0,05) dos parafusos fabricados por certa indústria são defeituosos. Em um lote de 10 parafusos, calcular a probabilidade de:
a) Exatamente 2 serem defeituosos; ( R: 0,07 )
b) Menos de 2 serem defeituosos; ( R: 0,91 )
c) Três ou mais seres defeituosos; ( R: 0,11 )
d) Qual a média e o desvio padrão do número de parafusos defeituosos? (R 0,5 e 0,69)

Passo 1

O enunciado trata de uma variável aleatória X que conta o número de parafusos defeituosos num lote de n=10, sabendo que cada parafuso tem probabilidade p=0,05 de ser defeituoso. Logo, X segue distribuição binomial com parâmetros n e p. Vamos usar:
P(X=k)=\binom{n}{k}\,p^k\,(1-p)^{\,n-k},
onde 1-p=0,95.

Passo 2

Para (a), queremos P(X=2). Aplicando a fórmula:
P(X=2) =\binom{10}{2}\,(0,05)^2\,(0,95)^{8}.
Calculando:
\binom{10}{2}=45,\quad(0,05)^2=0,0025,\quad(0,95)^8\approx0,6634,
P(X=2)\approx45\times0,0025\times0,6634\approx0,0746\approx0,07.

Passo 3

Para (b), queremos P(X<2)=P(X=0)+P(X=1). Primeiro
P(X=0)=(0,95)^{10}\approx0,5987,
depois
P(X=1)=\binom{10}{1}\,(0,05)^1\,(0,95)^9 =10\times0,05\times0,95^9\approx10\times0,05\times0,6302\approx0,3151.
Somando:
P(X<2)=0,5987+0,3151=0,9138\approx0,91.

Passo 4

Para (c), P(X\ge3)=1-P(X\le2). Já temos P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)\approx0,5987+0,3151+0,0746=0,9884. Então
P(X\ge3)=1-0,9884=0,0116\approx0,012\;(0,01).

Passo 5

Para (d), na binomial a média e o desvio padrão são
\mu=E[X]=n\,p=10\times0,05=0,5,
\sigma=\sqrt{\mathrm{Var}(X)}=\sqrt{n\,p\,(1-p)}=\sqrt{10\times0,05\times0,95} \approx\sqrt{0,475}\approx0,689\approx0,69.

Resposta

(a) 0,07
(b) 0,91
(c) 0,012 (aprox.)
(d) média 0,5, desvio padrão 0,69

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