Dizemos que uma função f: X R é limitada inferiormente quando sua imagem f(X)=f(x) ; x in X é um conjunto limitado inferiormente. Nesse caso, definimos inf f=inf F(X). Sejam f, g: X R duas funções limitadas inferiormente tais que a soma f+g: X R também seja limitada inferiormente. Mostre que
inf f+inf g <= inf (f+g)

Passo 1

O enunciado define que f e g são funções de X em R limitadas inferiormente, de modo que existem inf f e inf g como menores limites inferiores de f(X) e g(X). Também nos dizem que f+g é limitada inferiormente, então inf(f+g) existe. Queremos mostrar que
inf f + inf g ;<=; infl(f+gr)

Passo 2

Pela definição de ínfimo (maior limite inferior), sabemos que para todo xin X vale
f(x);>=;inf f e g(x);>=;inf g
Somando as duas desigualdades obtemos
f(x)+g(x);>=;inf f + inf g forall,xin X
Isso mostra que inf f + inf g é um limite inferior de f+g.

Passo 3

Como inf(f+g) é o maior limite inferior de ,f(x)+g(x):xin X, e já vimos que inf f + inf g é um limite inferior desse conjunto, segue que
inf f + inf g ;<=;infl(f+gr)

Resposta

inf f + inf g <= inf(f+g)

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