Dizemos que uma função
é limitada inferiormente quando sua imagem
é um conjunto limitado inferiormente. Nesse caso, definimos
. Sejam
duas funções limitadas inferiormente tais que a soma
também seja limitada inferiormente. Mostre que
Passo 1
O enunciado define que
e
são funções de
em
limitadas inferiormente, de modo que existem
e
como menores limites inferiores de
e
. Também nos dizem que
é limitada inferiormente, então
existe. Queremos mostrar que
Passo 2
Pela definição de ínfimo (maior limite inferior), sabemos que para todo
vale
Somando as duas desigualdades obtemos
Isso mostra que
é um limite inferior de
.
Passo 3
Como
é o maior limite inferior de
, e já vimos que
é um limite inferior desse conjunto, segue que