Usando as propriedades de relação de ordem em R mostre que:
Sejam x, y, x^prime, y^prime in R. Se 0<x<y e 0<x^prime<y^prime, então x cdot x^prime<y cdot y^prime

Passo 1

O enunciado pede para usar as propriedades de ordem em R (especificamente a monotonicidade da multiplicação) para mostrar que, dados
0 < x < y e 0 < x' < y',
temos ,x,x' < y,y'.
Vamos precisar das duas seguintes propriedades em R:
  1. Se a>0 e b<c, então a,b < a,c.
  2. A relação < é transitiva: se u<v e v<w, então u<w.

Passo 2

Como x'>0 e x<y, aplicando a monotonicidade da multiplicação pelo número positivo x' obtemos
x,x' < y,x'

Passo 3

Como y>0 e x'<y', aplicando agora a monotonicidade da multiplicação pelo número positivo y obtemos
y,x' < y,y'

Passo 4

Pela transitividade de <, das duas desigualdades
x,x' < y,x' e y,x' < y,y'
segue que
x,x' < y,y'

Resposta

x,x' < y,y'.

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