Questão 1)(3 pontos cada letra) Resolva as seguintes equações diferenciais ordinárias:
(1+t^2) y^prime+4 t y=(1+t^2)^-2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO (1+t^2),y' + 4t,y = (1+t^2)^-2. O conteúdo aqui é EDO linear de primeira ordem. Vamos precisar colocar na forma padrão y' + p(t)y = q(t), encontrar o fator integrante e integrar.

Passo 2

Dividimos a equação por (1+t^2) para escrevê-la na forma padrão:
y' + 4t1+t^2,y = (1+t^2)^-3

Passo 3

Identificamos p(t)=4t1+t^2. O fator integrante é
mu(t)=expl(integral p(t),dtr)=expl(integral 4t1+t^2,dtr)=expl(2ln(1+t^2)r)=(1+t^2)^2

Passo 4

Multiplicamos a forma padrão por mu(t) e usamos a propriedade de derivada de produto:
(1+t^2)^2 y' + 4t(1+t^2)y = (1+t^2)^2,(1+t^2)^-3 = (1+t^2)^-1,
o que equivale a
ddtl[(1+t^2)^2 yr] = (1+t^2)^-1

Passo 5

Integramos ambos os lados em t:
(1+t^2)^2 y = integral (1+t^2)^-1,dt + C = arctan(t) + C

Passo 6

Isolamos y:
y(t) = arctan(t) + C(1+t^2)^2

Resposta

y(t) = arctan(t) + C(1+t^2)^2

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