Ministério da Educaçãoéçã <br> Instituto Federal de Goiásá <br> Campus Goiâniaâ <br> Departamento de Áreas Acadêmicas 4Áê
Golis <br> Campus Soiània Sistemas Lineares
Qual é a solução da seguinte equação diferencial?
2 dotx+7 dotx+3 x=0, x(0)=3, dotx(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem homogênea com coeficientes constantes
2\ddot{x} + 7\dot{x} + 3x = 0
sujeita a x(0)=3 e \dot{x}(0)=0; o conteúdo é EDOs lineares de 2ª ordem e vamos usar equação característica e condições iniciais.

Passo 2

Para obter a solução geral, montamos a equação característica associada à EDO:
2r^2 + 7r + 3 = 0

Passo 3

Resolvendo a equação quadrática, calculamos o discriminante e as raízes:
De
r = -7 pm raiz252cdot2 = -7 pm 54Rightarrow r1 = -tfrac12,;r2 = -3

Passo 4

Como as raízes são reais e distintas, a solução geral é
x(t) = C1 e^-t/2 + C2 e^-3t

Passo 5

Agora, derivamos x(t) para aplicar as condições iniciais:
dotx(t) = -tfrac12 C1 e^-t/2 - 3C2 e^-3t

Passo 6

Em t=0 temos x(0)=3 e \dot{x}(0)=0, gerando o sistema:
C1 + C2 = 3, -tfrac12 C1 - 3C2 = 0

Passo 7

Resolvendo para C_1 e C_2, da segunda equação vem C_1 = -6C_2; substituindo na primeira:
-6C2 + C2 = 3Rightarrow -5C2 = 3Rightarrow C2 = -tfrac35, C1 = tfrac185

Passo 8

Substituindo na solução geral, obtemos x(t).

Resposta

x(t) = 185e^-t/2 - 35e^-3t

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