Dizemos que uma matriz A é idempotente se .
a) Mostre que as matrizes e [cc4 & -2 6 & -3] são idempotentes.
b) Prove que se A é idempotente, então I-A também é idempotente, I sendo a matriz identidade.
Passo 1
O enunciado define matriz idempotente como aquela que satisfaz A^2 = A. Precisamos verificar essa propriedade para duas matrizes dadas e depois mostrar que, se A é idempotente, então I - A também é idempotente. Vamos usar multiplicação de matrizes e álgebra matricial simples.
Passo 2
Para a primeira matriz, seja
A = 2 & -1 & 1 -3 & 4 & -3 -5 & 5 & -4
Calculamos A^2 = A cdot A elemento a elemento. Por exemplo, (A^2)11 = 2cdot2 + (-1)cdot(-3) + 1cdot(-5) = 4 + 3 - 5 = 2, (A^2)12 = 2cdot(-1) + (-1)cdot4 + 1cdot5 = -2 - 4 + 5 = -1, e assim por diante em todas as entradas. Repetindo para cada posição, obtemos
A^2 = 2 & -1 & 1 -3 & 4 & -3 -5 & 5 & -4
Portanto, A^2 = A e A é idempotente.
Passo 3
Para a segunda matriz, seja
B = 4 & -2 6 & -3
Calculamos B^2 = B cdot B. Por exemplo, (B^2)11 = 4cdot4 + (-2)cdot6 = 16 - 12 = 4, (B^2)12 = 4cdot(-2) + (-2)cdot(-3) = -8 + 6 = -2, e os demais também conferem. Logo,
B^2 = 4 & -2 6 & -3
Logo B^2 = B e B é idempotente.
Passo 4
Se A é idempotente, então A^2 = A. Considere I - A. Calculamos
(I - A)^2 = I^2 - A I - I A + A^2 = I - A - A + A = I - A,
pois I comuta com A e A^2 = A. Assim (I-A)^2 = I-A, ou seja, I-A é idempotente.
Resposta
a) As duas matrizes são idempotentes, pois seus quadrados coincidem com elas mesmas.
b) Como (I-A)^2 = I - 2A + A^2 = I - A, segue que I-A é idempotente.