Nas partes (a)-(h), determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
(a) Um sistema linear cujas equações são todas homogêneas deve ser consistente.
(b) Multiplicar uma equação inteira por zero é uma operação elementar com as linhas aceitável.
(c) O sistema linear
não pode ter uma única solução, independentemente do valor de .
(d) Uma equação linear só, com duas ou mais incógnitas, sempre deve ter uma infinidade de soluções.
(e) Se o número de equações de um sistema linear exceder o número de incógnitas, então o sistema deve ser inconsistente.
(f) Se cada equação de um sistema linear consistente for multiplicada por uma constante , então todas as soluções do novo sistema podem ser obtidas multiplicando as soluções do sistema original por .
(g) As operações elementares com linhas permitem que uma equação de um sistema linear seja subtraída de uma outra.
(h) O sistema linear de matriz aumentada correspondente
é consistente.
(i) x1-x5=7
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que você tem aqui são várias afirmações sobre sistemas lineares, e nossa missão é descobrir se cada uma é verdadeira ou falsa. Para isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos de álgebra linear, como o que é um sistema consistente, operações elementares em sistemas lineares, e como resolver sistemas de equações. Vamos analisar cada letra de (a) a (h) uma por uma.
Passo 2
(a) Um sistema linear cujas equações são todas homogêneas deve ser consistente.
Vamos por partes: um sistema linear homogêneo é aquele em que todas as equações têm termos livres iguais a zero, ou seja, a forma geral é Ax = 0. Um sistema consistente é aquele que tem pelo menos uma solução.
No caso de sistemas homogêneos, sempre existe pelo menos a solução trivial, onde todas as variáveis são iguais a zero. Portanto, todo sistema linear homogêneo é sempre consistente.
Resposta: Verdadeiro.
Passo 3
(b) Multiplicar uma equação inteira por zero é uma operação elementar com as linhas aceitável.
Operações elementares com linhas são aquelas que ajudam a simplificar sistemas lineares, como trocar linhas, multiplicar uma linha por um número diferente de zero, ou adicionar múltiplos de uma linha a outra.
Multiplicar uma equação por zero resultaria em 0 = 0, o que elimina a informação original da equação. Além disso, uma operação fundamental das operações elementares é que elas devem ser reversíveis, e multiplicar por zero não é reversível. Por isso, não é considerada uma operação elementar válida.
Resposta: Falso.
Passo 4
**(c) O sistema linear
não pode ter uma única solução, independentemente do valor de [k).**
Vamos resolver o sistema. A segunda equação pode ser simplificada dividindo ambos os lados por 2:
Agora, temos:
Para que o sistema tenha uma única solução, as duas equações devem ser consistentes e independentes. No entanto, se , o sistema tem infinitas soluções, pois as equações são iguais.
Portanto, o sistema nunca tem uma única solução, independentemente do valor de .
Resposta: Verdadeiro.
Passo 5
(d) Uma equação linear só, com duas ou mais incógnitas, sempre deve ter uma infinidade de soluções.
Uma equação linear com duas ou mais incógnitas representa uma reta, plano ou hiperplano em um espaço de múltiplas dimensões. Como existem infinitos pontos que satisfazem essa equação, o sistema terá sempre uma infinidade de soluções.
Resposta: Verdadeiro.
Passo 6
(e) Se o número de equações de um sistema linear exceder o número de incógnitas, então o sistema deve ser inconsistente.
Não necessariamente. Ter mais equações do que incógnitas pode resultar em um sistema inconsistente, uma única solução ou infinitas soluções, dependendo das equações. Se todas as equações forem consistentes entre si, o sistema ainda pode ter uma solução única ou infinitas soluções.
Resposta: Falso.
Passo 7
(f) Se cada equação de um sistema linear consistente for multiplicada por uma constante c, então todas as soluções do novo sistema podem ser obtidas multiplicando as soluções do sistema original por c.
Multiplicar uma equação por uma constante c (diferente de zero) é uma operação elementar que não muda o conjunto de soluções do sistema. No entanto, multiplicar todas as soluções por c alteraria os valores das variáveis, o que não preserva as soluções originais.
Resposta: Falso.
Passo 8
(g) As operações elementares com linhas permitem que uma equação de um sistema linear seja subtraída de uma outra.
Sim, uma das operações elementares é exatamente essa: adicionar ou subtrair múltiplos de uma equação a outra. Isso ajuda a eliminar variáveis e simplificar o sistema.
Resposta: Verdadeiro.
Passo 9
**(h) O sistema linear de matriz aumentada correspondente
2 & -1 & 4 0 & 0 & -1
é consistente.**
Para verificar se o sistema é consistente, analisamos a matriz aumentada. A segunda linha representa a equação 0x + 0y = -1, o que é impossível, pois 0 neq -1. Isso significa que o sistema não tem soluções.
Resposta: Falso.
Resposta
Aqui estão as respostas resumidas para cada afirmação:
a) Verdadeiro.
b) Falso.
c) Verdadeiro.
d) Verdadeiro.
e) Falso.
f) Falso.
g) Verdadeiro.
h) Falso.