Dizemos que uma matriz A, n times n, é simétrica se A^t=A e é anti-simétrica se A^t=-A.
Mostre que quaisquer matrizes A e B de mesma ordem satisfaz
(A+B)^t=A^t+B^t

Passo 1

O enunciado pede para provar que, para quaisquer matrizes A e B de ordem ntimes n, vale
(A+B)^t = A^t + B^t
O conteúdo principal aqui é a definição da transposta de uma matriz em termos de seus elementos.

Passo 2

Sejam
A = (aij) e B = (bij),
ou seja, aij e bij são os elementos na linha i, coluna j de A e B, respectivamente. A soma A+B tem elementos
(A+B)ij = aij + bij
Por definição, a transposta de uma matriz M=(mij) é a matriz M^t cujo elemento (i,j) é
(M^t)ij = mji

Passo 3

Vamos calcular o (i,j)-ésimo elemento de (A+B)^t. Pela definição de transposta,
l((A+B)^tr)ij = (A+B)ji
Como (A+B)ji = aji + bji, obtemos
l((A+B)^tr)ij = aji + bji

Passo 4

Agora calculemos o (i,j)-ésimo elemento de A^t + B^t. Temos
(A^t + B^t)ij = (A^t)ij + (B^t)ij = aji + bji

Passo 5

Vimos que, para todo i,j,
l((A+B)^tr)ij = aji + bji = (A^t + B^t)ij
Logo, todas as entradas de (A+B)^t e de A^t + B^t coincidem, o que implica
(A+B)^t = A^t + B^t

Resposta

(A+B)^t = A^t + B^t

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