Dizemos que uma matriz
, é simétrica se
e é anti-simétrica se
.
Mostre que quaisquer matrizes
e B de mesma ordem satisfaz
Mostre que quaisquer matrizes
Passo 1
O enunciado pede para provar que, para quaisquer matrizes
e
de ordem
, vale
O conteúdo principal aqui é a definição da transposta de uma matriz em termos de seus elementos.
Passo 2
Sejam
ou seja,
e
são os elementos na linha
, coluna
de
e
, respectivamente. A soma
tem elementos
Por definição, a transposta de uma matriz
é a matriz
cujo elemento
é
Passo 3
Vamos calcular o
-ésimo elemento de
. Pela definição de transposta,
Como
, obtemos
Passo 4
Agora calculemos o
-ésimo elemento de
. Temos
Passo 5
Vimos que, para todo
,
Logo, todas as entradas de
e de
coincidem, o que implica