Mostre que as matrizes X=[ll1 & 1 y & 1], onde y é um número real não nulo, satisfazem a equação X^2=2 X.

Passo 1

O enunciado fornece a família de matrizes
X = 1 & 1 y & 1,
onde y é um real não nulo, e pede para mostrar que elas satisfazem
X^2 = 2,X
O que precisamos usar é a definição de multiplicação de matrizes 2times2 e comparar elemento a elemento.

Passo 2

Calculemos X^2 = X times X. Usando produto de linhas por colunas, temos
X^2 = 1cdot1 + 1cdot y & 1cdot1 + 1cdot1 ycdot1 + 1cdot y & ycdot1 + 1cdot1 = 1 + y & 2 2y & 1 + y

Passo 3

Agora calculemos 2X multiplicando cada entrada de X por 2:
2X = 2 times 1 & 1 y & 1 = 2 & 2 2y & 2

Passo 4

Para ter X^2 = 2X, as duas matrizes devem coincidir em todas as entradas. Comparando as entradas (1,1) e (2,2) de
1+y & 2 2y & 1+y e 2 & 2 2y & 2 ,
vemos que é preciso
1 + y = 2

Passo 5

Resolvendo 1 + y = 2 obtemos
y = 1
Como yneq0 por hipótese, y=1 é permitido e é a única solução que garante X^2=2X.

Resposta

A equação X^2 = 2X é satisfeita precisamente quando y = 1.

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