Mostre que se e são matrizes que comutam com a matriz
então A e B também comutam entre si.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se duas matrizes A e B de ordem 2 comutam com
M = 1 & 10 & 1,
então A e B comutam entre si. O conteúdo usado será a caracterização do centralizador de um bloco de Jordan e o fato de que M difere da identidade por uma matriz nilpotente de ordem 2.
Passo 2
Defina
N = M - I,
onde I é a matriz identidade 2times2. Como
M = I + N,
temos
N^2 = (M - I)^2 = M^2 - 2M + I = 1&20&1 - 21&10&1 + I = 0
Logo, N é nilpotente de ordem 2. Além disso, para qualquer matriz X,