Mostre que se A e B são matrizes que comutam com a matriz
M=[ll 1 & 1 0 & 1 ]
então A e B também comutam entre si.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se duas matrizes A e B de ordem 2 comutam com
M = 1 & 10 & 1,
então A e B comutam entre si. O conteúdo usado será a caracterização do centralizador de um bloco de Jordan e o fato de que M difere da identidade por uma matriz nilpotente de ordem 2.

Passo 2

Defina
N = M - I,
onde I é a matriz identidade 2times2. Como
M = I + N,
temos
N^2 = (M - I)^2 = M^2 - 2M + I = 1&20&1 - 21&10&1 + I = 0
Logo, N é nilpotente de ordem 2. Além disso, para qualquer matriz X,
XM = MX Long<=ftrightarrow X(I+N) = (I+N)X Long<=ftrightarrow XN = NX

Passo 3

Escreva
A = a & b c & d
e imponha AN = NA. Calculando:
AN = a & b c & d 0 & 10 & 0 = 0 & a0 & c,
NA = 0 & 10 & 0 a & b c & d = c & d0 & 0
Da igualdade AN=NA vem c=0 e a=d. Assim
A = a & b0 & a = aI + bN

Passo 4

Pelo mesmo raciocínio,
B = p & q0 & p = pI + qN

Passo 5

Agora calcule
AB = (aI + bN)(pI + qN) = ap,I + (aq + bp),N + bq,N^2 = ap,I + (aq + bp),N,
pois N^2=0. De modo idêntico
BA = (pI + qN)(aI + bN) = ap,I + (bp + qa),N = ap,I + (aq + bp),N
Logo AB = BA.

Resposta

Mostrou-se que AB = BA, ou seja, A e B comutam entre si.

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