Dizemos que uma matriz é simétrica ou antissimétrica se, e somente se, respectivamente, valer que A^t=A ou A^t=-A.
Prove que:
forall G in Mn(R) vale que R=G-G^t é uma matriz antissimétrica.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dado qualquer Gin Mn(R), a matriz
R = G - G^t
é antissimétrica, ou seja, satisfaz R^t = -R. Vamos usar as propriedades de transposição de soma e diferença.

Passo 2

Definimos
R = G - G^t
e queremos verificar que
R^t = -R

Passo 3

Usando a propriedade (A - B)^t = A^t - B^t, temos
R^t = (G - G^t)^t = G^t - (G^t)^t

Passo 4

Como a transposta da transposta volta à matriz original, (G^t)^t = G. Logo
R^t = G^t - G = -(G - G^t) = -R

Resposta

Portanto, R^t = -R, o que mostra que R é antissimétrica.

Exercícios relacionados