Use o exercício acima para escrever a matriz W=[ccc0 & -3 & 1 2 & 0 & 1 1 & 1 & 4]3 times 3 como a soma W=S+R, sendo S uma matriz simétrica e R uma matriz antissimétrica.

Passo 1

O enunciado pede para decompor a matriz
W = 0 & -3 & 1 2 & 0 & 1 1 & 1 & 4
em uma soma W = S + R, onde S é simétrica ( S^T=S) e R é antissimétrica ( R^T=-R). O conteúdo aqui é a decomposição de qualquer matriz quadrada em suas partes simétrica e antissimétrica.

Passo 2

A teoria diz que, para qualquer matriz quadrada W, podemos definir
S = W + W^T2, R = W - W^T2
Por construção, S satisfaz S^T=S e R satisfaz R^T=-R.

Passo 3

Vamos calcular a transposta de W. Se
W = 0 & -3 & 1 2 & 0 & 1 1 & 1 & 4 ,
então
W^T = 0 & 2 & 1 -3 & 0 & 1 1 & 1 & 4

Passo 4

Agora calculamos
W + W^T = 0 & -3 & 1 2 & 0 & 1 1 & 1 & 4 + 0 & 2 & 1 -3 & 0 & 1 1 & 1 & 4 = 0 & -1 & 2 -1 & 0 & 2 2 & 2 & 8
Dividindo por 2, obtemos
S = W + W^T2 = 0 & -tfrac12 & 1 -tfrac12 & 0 & 1 1 & 1 & 4

Passo 5

Em seguida,
W - W^T = 0 & -3 & 1 2 & 0 & 1 1 & 1 & 4 - 0 & 2 & 1 -3 & 0 & 1 1 & 1 & 4 = 0 & -5 & 0 5 & 0 & 0 0 & 0 & 0
Dividindo por 2, obtemos
R = W - W^T2 = 0 & -tfrac52 & 0 tfrac52 & 0 & 0 0 & 0 & 0

Resposta

S = 0 & -tfrac12 & 1 -tfrac12 & 0 & 1 1 & 1 & 4 , R = 0 & -tfrac52 & 0 tfrac52 & 0 & 0 0 & 0 & 0

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