Dizemos que uma reta y=m x+b é uma assíntota do gráfico de uma função f quando
lim x +infty[f(x)-(m x+b)]=0 ou lim x -infty[f(x)-(m x+b)]=0
Quando m=0, temos a assíntota horizontal y=b. Quando m neq 0 temos uma assíntota oblíqua. Por exemplo, a reta y=x-4 é uma assíntota oblíqua de f(x)=x^2-3 x+2x+1, uma vez que
lim x +infty[x^2-3 x+2x+1-(x-4)] & =lim x +infty[(x^2-3 x+2)-(x^2-3 x-4)x+1] & =lim x +infty[6x+1]=0
Verifique, nos itens abaixo, que a reta dada é uma assíntota da função f indicada:
y=x e y=-x de f(x)=raizx^2+1.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para a função
f(x)=raizx^2+1,
as retas y=x e y=-x satisfazem
limxto+inftyl[f(x)-(x)r]=0 e limxto-inftyl[f(x)-(-x)r]=0
Isso é exatamente a condição de assíntota oblíqua com coeficiente angular m=1 (reta y=x) quando xto+infty, e m=-1 (reta y=-x) quando xto-infty. Vamos, então, avaliar esses limites usando a técnica do conjugado.

Passo 2

Para xto+infty consideramos
limxto+inftyl[raizx^2+1-xr]
Multiplicamos por
raizx^2+1+xraizx^2+1+x, obtendo
raizx^2+1-x =l(raizx^2+1-xr)l(raizx^2+1+xr)raizx^2+1+x =(x^2+1)-x^2raizx^2+1+x =1raizx^2+1+x
Como raizx^2+1+xto+infty quando xto+infty, segue que
limxto+inftyl[raizx^2+1-xr] =limxto+infty1raizx^2+1+x =0

Passo 3

Como limxto+infty[f(x)-x]=0, concluímos que
y=x
é assíntota oblíqua de f quando xto+infty.

Passo 4

Para xto-infty analisamos
limxto-inftyl[raizx^2+1+xr]
(observe que f(x)-(-x)=raizx^2+1+x). De novo usamos o conjugado:
raizx^2+1+x =l(raizx^2+1+xr)l(raizx^2+1-xr)raizx^2+1-x =(x^2+1)-x^2raizx^2+1-x =1raizx^2+1-x
Para xto-infty, temos raizx^2+1sim-,x e, portanto,
raizx^2+1-xto+infty. Logo
limxto-inftyl[raizx^2+1+xr] =limxto-infty1raizx^2+1-x =0

Passo 5

Como limxto-infty[f(x)-(-x)]=0, concluímos que
y=-x
é assíntota oblíqua de f quando xto-infty.

Resposta

Para f(x)=raizx^2+1, as retas
y=x e y=-x
são assíntotas oblíquas nos limites xto+infty e xto-infty, respectivamente.

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