Dizemos que uma superfície quádrica S é simétrica ao eixo x se, para qualquer ponto p=(x, y, z), pertencente a S, tem-se que p^prime=(x,-y,-z) também pertence a S. Dessa forma, considere as seguintes superfícies quádricas de equações:
I. y^2+2 z^2-3 x+2=0
II. x^2+2 y^2-3 z^2-2 x y+1=0
III. 2 x^2+3 y^2-3 z^2+2 x-1=0
Então, as superfícies que são simétricas com relação ao eixo x são:
a) Apenas II
b) Apenas I e II
c) Apenas I e III
d) Apenas II e III
e) Todas

Passo 1

O enunciado define que uma superfície quádri-ca S é simétrica ao eixo x se, sempre que (x,y,z) satisfaz a equação de S, o ponto (x,-y,-z) também a satisfaz. Aqui temos três superfícies:
I. ;y^2+2 z^2-3 x+2=0
II. ;x^2+2 y^2-3 z^2-2 x y+1=0
III. ;2 x^2+3 y^2-3 z^2+2 x-1=0
Nosso objetivo é verificar, em cada caso, se a equação se mantém inalterada ao substituir (y,z) por (-y,-z).

Passo 2

Analisando a superfície I, fazemos a troca yto -y e zto -z em
y^2+2 z^2-3 x+2=0
Como (-y)^2=y^2 e (-z)^2=z^2, a expressão permanece
y^2+2 z^2-3 x+2=0,
logo I é simétrica ao eixo x.

Passo 3

Para a superfície II, aplicamos a mesma troca em
x^2+2 y^2-3 z^2-2 x y+1=0
Os termos x^2, y^2, z^2 ficam iguais, mas
-2xy;longrightarrow;-2x(-y)=+2xy,
então obtemos
x^2+2 y^2-3 z^2+2 x y+1=0,
que é diferente da equação original. Portanto II não é simétrica.

Passo 4

Finalmente, na superfície III, substituímos em
2 x^2+3 y^2-3 z^2+2 x-1=0
De novo (-y)^2=y^2, (-z)^2=z^2 e x permanece igual, de modo que a equação não se altera. Logo III é simétrica ao eixo x.

Passo 5

Concluímos que apenas as superfícies I e III são simétricas em relação ao eixo x.

Resposta

c) Apenas I e III

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