Dizemos que uma superfície quádrica
é simétrica ao eixo
se, para qualquer ponto
, pertencente a
, tem-se que
também pertence a
. Dessa forma, considere as seguintes superfícies quádricas de equações:
I.
II.
III.
Então, as superfícies que são simétricas com relação ao eixo
são:
a) Apenas II
b) Apenas I e II
c) Apenas I e III
d) Apenas II e III
e) Todas
I.
II.
III.
Então, as superfícies que são simétricas com relação ao eixo
a) Apenas II
b) Apenas I e II
c) Apenas I e III
d) Apenas II e III
e) Todas
Passo 1
O enunciado define que uma superfície quádri-ca
é simétrica ao eixo
se, sempre que
satisfaz a equação de
, o ponto
também a satisfaz. Aqui temos três superfícies:
I.
II.
III.
Nosso objetivo é verificar, em cada caso, se a equação se mantém inalterada ao substituir por
.
I.
II.
III.
Nosso objetivo é verificar, em cada caso, se a equação se mantém inalterada ao substituir
Passo 2
Analisando a superfície I, fazemos a troca
e
em
Como
e
, a expressão permanece
logo I é simétrica ao eixo
.
Passo 3
Para a superfície II, aplicamos a mesma troca em
Os termos
,
,
ficam iguais, mas
então obtemos
que é diferente da equação original. Portanto II não é simétrica.
Passo 4
Finalmente, na superfície III, substituímos em
De novo
,
e
permanece igual, de modo que a equação não se altera. Logo III é simétrica ao eixo
.
Passo 5
Concluímos que apenas as superfícies I e III são simétricas em relação ao eixo
.
Resposta
c) Apenas I e III