Dizemos que uma superfície quádrica S é simétrica ao eixo x se, para qualquer ponto p=(x, y, z), pertencente a S, tem-se que p^prime=(x,-y,-z) também pertence a S. Dessa forma, considere as seguintes superfícies quádricas de equações:
I. y^2+2 z^2-3 x+2=0
II. x^2+2 y^2-3 z^2-2 x y+1=0
III. 2 x^2+3 y^2-3 z^2+2 x-1=0
Então, as superfícies que são simétricas com relação ao eixo x são: Apenas II e III

Passo 1

O enunciado define que uma superfície quadrática S é simétrica ao eixo x quando, sempre que (x,y,z) satisfaz a equação de S, o ponto (x,-y,-z) também satisfaz. Para testar cada equação, basta substituir (y,z) por (-y,-z) e ver se a expressão se mantém inalterada.

Passo 2

Para a superfície I, dada por
y^2 + 2z^2 - 3x + 2 = 0,
substituindo (y,z)mapsto(-y,-z) obtemos
(-y)^2 + 2(-z)^2 - 3x + 2 = y^2 + 2z^2 - 3x + 2,
que é exatamente a mesma expressão. Logo, I é simétrica ao eixo x.

Passo 3

Para a superfície II, dada por
x^2 + 2y^2 - 3z^2 - 2xy + 1 = 0,
substituindo obtemos
x^2 + 2(-y)^2 - 3(-z)^2 - 2x(-y) + 1 = x^2 + 2y^2 - 3z^2 + 2xy + 1,
onde o termo -2xy virou +2xy. Como a expressão mudou, II não é simétrica ao eixo x.

Passo 4

Para a superfície III, dada por
2x^2 + 3y^2 - 3z^2 + 2x - 1 = 0,
substituindo (y,z)mapsto(-y,-z) obtemos
2x^2 + 3(-y)^2 - 3(-z)^2 + 2x - 1 = 2x^2 + 3y^2 - 3z^2 + 2x - 1,
que é idêntica à original. Portanto, III é simétrica ao eixo x.

Resposta

As superfícies simétricas ao eixo x são I e III.

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