Dizemos que uma superfície quádrica S é simétrica ao eixo x se, para qualquer ponto p=(x, y, z), pertencente a S, tem-se que p^prime=(x,-y,-z) também pertence a S. Dessa forma, considere as seguintes superfícies quádricas de equações:
I. y^2+2 z^2-3 x+2=0
II. x^2+2 y^2-3 z^2-2 x y+1=0
III. 2 x^2+3 y^2-3 z^2+2 x-1=0
Então, as superfícies que são simétricas com relação ao eixo x são: Apenas I e II

Passo 1

O enunciado nos dá três superfícies quádricas
I. ;y^2+2z^2-3x+2=0
II. ;x^2+2y^2-3z^2-2xy+1=0
III. ;2x^2+3y^2-3z^2+2x-1=0
e define simetria em relação ao eixo x como a propriedade de que, se (x,y,z) pertence à superfície, então (x,-y,-z) também pertence. Para verificar, vamos substituir (y,z)mapsto(-y,-z) em cada equação e comparar com a original.

Passo 2

Para a superfície I fazemos
y^2+2z^2-3x+2=0
e, ao trocar (y,z) por (-y,-z), obtemos
(-y)^2+2(-z)^2-3x+2 = y^2+2z^2-3x+2 = 0,
que é exatamente a mesma equação. Logo I é simétrica.

Passo 3

Para a superfície II temos
x^2+2y^2-3z^2-2xy+1=0
Sob a troca (y,z)mapsto(-y,-z) fica
x^2+2y^2-3z^2-2x(-y)+1 = x^2+2y^2-3z^2+2xy+1,
que difere da equação original no sinal do termo -2xy. Logo II não é simétrica.

Passo 4

Para a superfície III escrevemos
2x^2+3y^2-3z^2+2x-1=0
e, ao trocar (y,z) por (-y,-z), obtemos
2x^2+3y^2-3z^2+2x-1 = 0,
idem à equação inicial. Logo III é simétrica.

Resposta

As superfícies simétricas em relação ao eixo x são I e III.

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