A equação de uma cônica que tem excentricidade e= 12, centro no ponto P=(1, raiz 2) e os focos sobre a reta x=1 a uma distância de raiz2 do centro, é igual a : (x-1)^23+(y-raiz2)^24=1

Passo 1

O enunciado pede a equação da cônica com excentricidade e=tfrac12, centro em P=(1,raiz2) e focos sobre a reta x=1 a uma distância raiz2 do centro. Como e<1 e há dois focos simétricos, trata-se de uma elipse. Para resolvê-la, usaremos as relações entre excentricidade e, semi-eixo maior a e semi-distância focal c, e a fórmula para o semi-eixo menor b.

Passo 2

Os focos ficam sobre a reta x=1, isto é, alinhados verticalmente ao redor de P. Logo, o eixo maior é vertical e a forma canônica da elipse é
(y-raiz2)^2a^2 ;+;(x-1)^2b^2 ;=;1

Passo 3

Sabemos que a distância do centro a cada foco é
c = raiz2,
e que a excentricidade satisfaz
e = ca = 12
Isolando a, vem
a = ce = raiz2tfrac12 = 2raiz2,
portanto
a^2 = (2raiz2)^2 = 8

Passo 4

Para o semi-eixo menor b usamos
b^2 = a^2l(1 - e^2r) = 8l(1 - l(tfrac12r)^2r) = 8cdot34 = 6

Passo 5

Substituindo a^2=8 e b^2=6 na forma canônica, a equação correta da elipse é
(y-raiz2)^28 ;+;(x-1)^26 ;=;1

Resposta

(y-raiz2)^28 + (x-1)^26 = 1

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