Seja
uma variável aleatória com distribuição uniforme no intervalo
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Obtenha a densidade da variável aleatória
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Obtenha a densidade da variável aleatória
Passo 1
Beleza, galera! Vamos resolver juntos esse exercício. A gente tem uma variável aleatória $ X $ que segue uma distribuição uniforme no intervalo de 0 a 1. A questão pede para encontrarmos a densidade da variável $ Y = 3(2X - 1) $.
Para resolver isso, vamos precisar lembrar de como transformar variáveis aleatórias e calcular a densidade resultante dessa transformação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa transformar uma variável aleatória. Se a gente tem $ Y = g(X) $, onde $ g $ é uma função, a densidade de $ Y $ pode ser encontrada usando a fórmula:
Aqui, $ f_X(x) $ é a densidade original de $ X $ e $ \frac{dx}{dy} $ é a derivada de $ x $ em relação a $ y $.
Passo 3
Vamos agora aplicar isso ao nosso problema. Temos $ Y = 3(2X - 1) $. Primeiro, precisamos expressar $ X $ em função de $ Y $:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada $ \frac{dx}{dy} $:
Como a derivada é uma constante positiva, o valor absoluto dela é o próprio $ \frac{1}{6} $.
Passo 5
Sabemos que $ X $ é uniforme no intervalo (0,1), então a densidade $ f_X(x) $ é:
Passo 6
Agora, aplicando a fórmula da transformação:
Precisamos verificar para quais valores de $ Y $ a expressão $ \frac{Y}{6} + \frac{1}{2} $ está entre 0 e 1:
Passo 7
Dentro desse intervalo, $ f_X $ vale 1. Então:
Fora desse intervalo, a densidade é zero.
Resposta
A densidade da variável $ Y = 3(2X - 1) $ é dada por: