Dizemos que uma variável aleatória tem distribuição triangular no intervalo [0,1] se sua densidade é dada por:
f(x)=cc c x & se 0 <= x <= 1 / 2 c(1-x) x & se 1 / 2á
Determine:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função de densidade triangular definida no intervalo [0,1]. Nossa missão é encontrar o valor de $ c $ que faz essa função ser uma distribuição de probabilidade válida. Pra isso, vamos precisar entender o que é uma função de densidade e como garantir que a área total sob a curva seja igual a 1.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que, para que uma função $ f(x) $ seja uma densidade de probabilidade, ela precisa satisfazer duas condições:
  1. Não-negatividade: $ f(x) \geq 0 $ para todo $ x $.
  2. Integral igual a 1: A área total sob a curva de $ f(x) $ de $ -\infty $ a $ +\infty $ deve ser 1.
No nosso caso, a função já está definida para ser não-negativa no intervalo [0,1], então precisamos garantir que a integral de $ f(x) $ de 0 a 1 seja igual a 1.

Passo 3

Vamos então calcular a integral de $ f(x) $ de 0 a 1 e igualar a 1 para encontrar $ c $.
A função $ f(x) $ está definida em duas partes:
  • Para $ 0 \leq x \leq \frac{1}{2} $, $ f(x) = c x $.
  • Para $ \frac{1}{2} < x < 1 $, $ f(x) = c (1 - x) x $.
Então, a integral total será a soma das integrais dessas duas partes.

Passo 4

Primeiro, vamos integrar $ f(x) = c x $ de 0 a $ \frac{1}{2} $:
f(x) = c x

Passo 5

Agora, vamos integrar $ f(x) = c (1 - x) x $ de $ \frac{1}{2} $ a 1:
Primeiro, simplificamos a função:
f(x) = c (1 - x) x
Agora, integramos:
12
Calculando os limites:
Para $ x = 1 $:
c (1 - x) x = c (x - x^2)
Para $ x = \frac{1}{2} $:
integral12^1 c (x - x^2) , dx = c integral12^1 (x - x^2) , dx = c [ x^22 - x^33 ]12^1
Então, a integral fica:
x = 1

Passo 6

Agora, somamos as duas integrais para obter a integral total de 0 a 1:
c8 + c12 = c ( 18 + 112 ) = c ( 324 + 224 ) = c ( 524 ) = 5c24
Para que $ f(x) $ seja uma densidade de probabilidade válida, essa soma deve ser igual a 1:
f(x)

Passo 7

Resolvendo para $ c $:
c

Resposta

O valor de $ c $ que torna $ f(x) $ uma distribuição de probabilidade válida é $ c = 4,8 $.

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