Dizemos que uma variável aleatória tem distribuição triangular no intervalo
se sua densidade é dada por:
Determine:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função de densidade triangular definida no intervalo [0,1]. Nossa missão é encontrar o valor de $ c $ que faz essa função ser uma distribuição de probabilidade válida. Pra isso, vamos precisar entender o que é uma função de densidade e como garantir que a área total sob a curva seja igual a 1.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que, para que uma função $ f(x) $ seja uma densidade de probabilidade, ela precisa satisfazer duas condições:
- Não-negatividade: $ f(x) \geq 0 $ para todo $ x $.
- Integral igual a 1: A área total sob a curva de $ f(x) $ de $ -\infty $ a $ +\infty $ deve ser 1.
No nosso caso, a função já está definida para ser não-negativa no intervalo [0,1], então precisamos garantir que a integral de $ f(x) $ de 0 a 1 seja igual a 1.
Passo 3
Vamos então calcular a integral de $ f(x) $ de 0 a 1 e igualar a 1 para encontrar $ c $.
A função $ f(x) $ está definida em duas partes:
- Para $ 0 \leq x \leq \frac{1}{2} $, $ f(x) = c x $.
- Para $ \frac{1}{2} < x < 1 $, $ f(x) = c (1 - x) x $.
Então, a integral total será a soma das integrais dessas duas partes.
Passo 4
Primeiro, vamos integrar $ f(x) = c x $ de 0 a $ \frac{1}{2} $:
Passo 5
Agora, vamos integrar $ f(x) = c (1 - x) x $ de $ \frac{1}{2} $ a 1:
Primeiro, simplificamos a função:
Agora, integramos:
Calculando os limites:
Para $ x = 1 $:
Para $ x = \frac{1}{2} $:
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, somamos as duas integrais para obter a integral total de 0 a 1:
Para que $ f(x) $ seja uma densidade de probabilidade válida, essa soma deve ser igual a 1:
Passo 7
Resolvendo para $ c $:
Resposta
O valor de $ c $ que torna $ f(x) $ uma distribuição de probabilidade válida é $ c = 4,8 $.