Uma fábrica de sorvetes recebe o leite que utiliza de três fazendas: 20 % da fazenda 1, 30 % da fazenda 2 e 50 % da fazenda 3. Um órgão de fiscalização inspecionou as fazendas e constatou que 20 % do leite produzido na fazenda 1 estava adulterado por adição de água, enquanto que para as fazendas 2 e 3 essa proporção era de 5 % e 2 %, respectivamente. A fábrica de sorvetes recebe o leite em galões, que são armazenados em um refrigerador, sem identificação da fazenda de proveniência. Um galão é escolhido ao acaso e seu conteúdo é testado para verificar adulteração.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma fábrica de sorvetes que recebe leite de três fazendas diferentes: 20% da fazenda 1, 30% da fazenda 2 e 50% da fazenda 3. Porém, cada fazenda tem um percentual de leite adulterado com água: 20% na fazenda 1, 5% na fazenda 2 e 2% na fazenda 3. A gente precisa descobrir qual a chance de um galão escolhido aleatoriamente estar adulterado. Para resolver isso, vamos usar um pouco de probabilidade, especificamente a Lei da Probabilidade Total.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei da Probabilidade Total. Ela nos ajuda a calcular a probabilidade de um evento acontecer considerando diferentes caminhos possíveis que levam a ele. No nosso caso, o evento é o galão estar adulterado, e os diferentes caminhos são as três fazendas de onde o leite pode vir.

Passo 3

Vamos chamar de $ A_1 $, $ A_2 $ e $ A_3 $ os eventos de o galão vir da fazenda 1, 2 e 3, respectivamente. E $ B $ será o evento de o galão estar adulterado.
Sabemos que:
  • $ P(A_1) = 0,20 $ (20%)
  • $ P(A_2) = 0,30 $ (30%)
  • $ P(A_3) = 0,50 $ (50%)
Também sabemos as probabilidades de adulteração em cada fazenda:
  • $ P(B | A_1) = 0,20 $ (20%)
  • $ P(B | A_2) = 0,05 $ (5%)
  • $ P(B | A_3) = 0,02 $ (2%)

Passo 4

Aplicando a Lei da Probabilidade Total, a probabilidade total de o galão estar adulterado é:
P(B) = P(A1) times P(B | A1) + P(A2) times P(B | A2) + P(A3) times P(B | A3)
Substituindo os valores:
P(B) = (0,20 times 0,20) + (0,30 times 0,05) + (0,50 times 0,02)

Passo 5

Vamos calcular cada parte:
0,20 times 0,20 = 0,04
0,30 times 0,05 = 0,015
0,50 times 0,02 = 0,01
Agora somamos esses resultados:
P(B) = 0,04 + 0,015 + 0,01 = 0,065

Resposta

A probabilidade de um galão escolhido aleatoriamente estar adulterado é de 6,5%.

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