Dizemos que uma variável aleatória X tem distribuição simétrica em torno de zero quando X tem a mesma distribuição que -X.
(a) Se X tem distribuição simétrica em torno de zero, qual é a mediana de X ? Explique.
(b) Se X tem distribuição F(n, n), podemos afirmar que Y=\log X tem distribuição simétrica em torno de zero? Explique.

Passo 1

O enunciado define que X é simétrica em torno de zero, isto é, X e -X têm a mesma distribuição. Precisamos (a) encontrar a mediana de X usando a definição de mediana e a propriedade de simetria, e (b) verificar se, no caso X\sim F(n,n), a variável Y=\log X também é simétrica em torno de zero.

Passo 2

(a) Lembrando que uma mediana m satisfaz
\Pr(X \le m)\ge \tfrac12 \quad\text{e}\quad \Pr(X \ge m)\ge \tfrac12.
Como X é simétrica, temos
\Pr(X \le 0) =\Pr(-X \le 0) =\Pr(X \ge 0).
Além disso
\Pr(X \le 0)+\Pr(X \ge 0) =1+\Pr(X=0)\ge1,
logo cada uma das probabilidades é pelo menos \tfrac12. Portanto m=0 é uma mediana de X.

Passo 3

(b) Para X\sim F(n,n) vale a propriedade de reciprocidade:
1/X\sim F(n,n).
Definindo Y=\log X, note que para qualquer y \Pr(Y\le y) =\Pr(\log X \le y) =\Pr(X \le e^y),
e
\Pr(Y\ge -y) =\Pr(\log X \ge -y) =\Pr(X \ge e^{-y}) =\Pr\bigl(1/X \le e^y\bigr) =\Pr(X \le e^y).
Como \Pr(Y\le y)=\Pr(Y\ge -y) para todo y, concluímos que Y é simétrica em torno de zero.

Resposta

(a) A mediana de X é 0.
(b) Sim, Y=\log X é simétrica em torno de zero.

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