Dizemos que uma variável aleatória
tem distribuição simétrica em torno de zero quando
tem a mesma distribuição que
.
(a) Se
tem distribuição simétrica em torno de zero, qual é a mediana de
? Explique.
(b) Se
tem distribuição
, podemos afirmar que
tem distribuição simétrica em torno de zero? Explique.
(a) Se
(b) Se
Passo 1
O enunciado define que
é simétrica em torno de zero, isto é,
e
têm a mesma distribuição. Precisamos (a) encontrar a mediana de
usando a definição de mediana e a propriedade de simetria, e (b) verificar se, no caso
, a variável
também é simétrica em torno de zero.
Passo 2
(a) Lembrando que uma mediana
satisfaz
Como
é simétrica, temos
Além disso
logo cada uma das probabilidades é pelo menos
. Portanto
é uma mediana de
.
Passo 3
(b) Para
vale a propriedade de reciprocidade:
Definindo
, note que para qualquer
e
Como
para todo
, concluímos que
é simétrica em torno de zero.
Resposta
(a) A mediana de
é
.
(b) Sim, é simétrica em torno de zero.
(b) Sim,