Sejam
e
. Suponha que
e
sejam independentes,
com distribuição exponencial de parâmetro
e
com distribuição gama de parâmetros
e
, com respectivas densidades,
para
e
.
(a) Mostre que
tem distribuição gama. Quais os parâmetros?
Três sugestões alternativas: use a integração de convolução que vimos para a soma de duas variáveis aleatórias independentes positivas OU use o método do jacobiano para achar a distribuição conjunta de
e a seguir a de
OU use a propriedade da soma de gamas independentes.
(b) A partir do item anterior, qual a distribuição de
, se
e
são independentes e exponenciais de mesmo parâmetro
?
(c) Estendendo o item anterior, suponha que
tenham distribuições independentes e exponenciais de mesmo parâmetro
. Conclua que
tem distribuição gama. Quais os parâmetros?
(a) Mostre que
(b) A partir do item anterior, qual a distribuição de
(c) Estendendo o item anterior, suponha que
Passo 1
O enunciado nos dá duas variáveis independentes
com densidade
e
com densidade
Queremos a distribuição de
. O conteúdo usado será a convolução de densidades para soma de variáveis independentes e, como caso especial, a propriedade de soma de gamas com mesma taxa.
Passo 2
A densidade de
pela fórmula de convolução é
Reagrupando fatores e exponenciais,
Fazendo a mudança de variável
, obtemos
Logo
que é exatamente a densidade de uma distribuição gama com parâmetros
(forma) e
(taxa).
Passo 3
Concluímos, portanto, que
.
Passo 4
Se
e
são independentes e ambos
, então cada um é
. Pela propriedade anterior com
,
Passo 5
De modo geral, se
são independentes e cada
, então
Resposta
(a)
.
(b) Se independentes, então
.
(c) Se independentes, então
.
(b) Se
(c) Se