Sejam \alpha>0 e \beta>0. Suponha que X e Y sejam independentes, X com distribuição exponencial de parâmetro \beta e Y com distribuição gama de parâmetros \alpha e \beta, com respectivas densidades,
f_{X}(x)=\beta e^{-\beta x}, \quad f_{Y}(y)=\frac{\beta^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)} y^{\alpha-1} e^{-\beta y}
para x>0 e y>0.
(a) Mostre que Z=X+Y tem distribuição gama. Quais os parâmetros?
Três sugestões alternativas: use a integração de convolução que vimos para a soma de duas variáveis aleatórias independentes positivas OU use o método do jacobiano para achar a distribuição conjunta de (X, Z) e a seguir a de Z OU use a propriedade da soma de gamas independentes.
(b) A partir do item anterior, qual a distribuição de Z=X+Y, se X e Y são independentes e exponenciais de mesmo parâmetro \beta ?
(c) Estendendo o item anterior, suponha que X_{1}, \ldots, X_{n} tenham distribuições independentes e exponenciais de mesmo parâmetro \beta. Conclua que X_{1}+\cdots+X_{n} tem distribuição gama. Quais os parâmetros?

Passo 1

O enunciado nos dá duas variáveis independentes X\sim \text{Exp}(\beta) com densidade
f_X(x)=\beta e^{-\beta x},\quad x>0,
e Y\sim \text{Gamma}(\alpha,\beta) com densidade
f_Y(y)=\frac{\beta^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)}\,y^{\alpha-1}e^{-\beta y},\quad y>0.
Queremos a distribuição de Z=X+Y. O conteúdo usado será a convolução de densidades para soma de variáveis independentes e, como caso especial, a propriedade de soma de gamas com mesma taxa.

Passo 2

A densidade de Z pela fórmula de convolução é
f_Z(z) =\int_{0}^{z}f_X(x)\,f_Y(z-x)\,dx =\int_{0}^{z}\beta e^{-\beta x}\,\frac{\beta^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)}(z-x)^{\alpha-1}e^{-\beta(z-x)}\,dx.
Reagrupando fatores e exponenciais,
f_Z(z) =\frac{\beta^{\alpha+1}}{\Gamma(\alpha)}\,e^{-\beta z} \int_{0}^{z}(z-x)^{\alpha-1}\,dx.
Fazendo a mudança de variável u=z-x, obtemos
\int_{0}^{z}(z-x)^{\alpha-1}dx =\int_{0}^{z}u^{\alpha-1}du =\frac{z^{\alpha}}{\alpha}.
Logo
f_Z(z) =\frac{\beta^{\alpha+1}}{\Gamma(\alpha)}\,e^{-\beta z}\,\frac{z^{\alpha}}{\alpha} =\frac{\beta^{\alpha+1}}{\Gamma(\alpha+1)}\,z^{\alpha}e^{-\beta z},
que é exatamente a densidade de uma distribuição gama com parâmetros \alpha+1 (forma) e \beta (taxa).

Passo 3

Concluímos, portanto, que Z=X+Y\sim \text{Gamma}(\alpha+1,\beta).

Passo 4

Se X e Y são independentes e ambos \sim\text{Exp}(\beta), então cada um é \text{Gamma}(1,\beta). Pela propriedade anterior com \alpha=1,
Z=X+Y\sim \text{Gamma}(1+1,\beta)=\text{Gamma}(2,\beta).

Passo 5

De modo geral, se X_{1},\dots,X_{n} são independentes e cada X_{i}\sim \text{Exp}(\beta)=\text{Gamma}(1,\beta), então
X_{1}+\cdots+X_{n}\sim \text{Gamma}(n,\beta).

Resposta

(a) Z=X+Y\sim \text{Gamma}(\alpha+1,\beta).
(b) Se X,Y\sim \text{Exp}(\beta) independentes, então Z\sim \text{Gamma}(2,\beta).
(c) Se X_{1},\dots,X_{n}\sim \text{Exp}(\beta) independentes, então X_{1}+\cdots+X_{n}\sim \text{Gamma}(n,\beta).

Exercícios relacionados