Seja (X, Y) um vetor aleatório tendo X e Y distribuições independentes e U(0,1). Usando o método do jacobiano, obtenha a distribuição conjunta de U e V em que V=X \cos (2 \pi Y) e W=X \operatorname{sen}(2 \pi Y), indicando, ainda, em que região varia (V, W).
Passo 1
O enunciado diz que X e Y são independentes e cada um tem distribuição \mathrm{U}(0,1). Definimos
V = X\cos\bigl(2\pi Y\bigr), \quad W = X\sin\bigl(2\pi Y\bigr)
e queremos encontrar a densidade conjunta f_{V,W}(v,w) usando o método do jacobiano, além de descrever a região de variação de (V,W).
Passo 2
Escrevemos a transformação T\colon (x,y)\mapsto(v,w) e sua inversa.
A transformação é
v = x\cos(2\pi y), \quad w = x\sin(2\pi y),
com domínio \{0<x<1,\;0<y<1\}.
Para inverter, notamos que x é o raio e 2\pi y é o ângulo em coordenadas polares:
x = \sqrt{v^2 + w^2}, \quad 2\pi y = \operatorname{atan2}(w,v).
Como 0<x<1 e 0<2\pi y<2\pi, a imagem (v,w) varia no disco
v^2 + w^2 < 1.
Passo 3
Calculamos o jacobiano da transformação direta T.
As derivadas parciais são