Seja (X, Y) um vetor aleatório tendo X e Y distribuições independentes e U(0,1). Usando o método do jacobiano, obtenha a distribuição conjunta de U e V em que V=X \cos (2 \pi Y) e W=X \operatorname{sen}(2 \pi Y), indicando, ainda, em que região varia (V, W).

Passo 1

O enunciado diz que X e Y são independentes e cada um tem distribuição \mathrm{U}(0,1). Definimos
V = X\cos\bigl(2\pi Y\bigr), \quad W = X\sin\bigl(2\pi Y\bigr)
e queremos encontrar a densidade conjunta f_{V,W}(v,w) usando o método do jacobiano, além de descrever a região de variação de (V,W).

Passo 2

Escrevemos a transformação T\colon (x,y)\mapsto(v,w) e sua inversa.
A transformação é
v = x\cos(2\pi y), \quad w = x\sin(2\pi y),
com domínio \{0<x<1,\;0<y<1\}.
Para inverter, notamos que x é o raio e 2\pi y é o ângulo em coordenadas polares:
x = \sqrt{v^2 + w^2}, \quad 2\pi y = \operatorname{atan2}(w,v).
Como 0<x<1 e 0<2\pi y<2\pi, a imagem (v,w) varia no disco
v^2 + w^2 < 1.

Passo 3

Calculamos o jacobiano da transformação direta T.
As derivadas parciais são
\frac{\partial v}{\partial x} = \cos(2\pi y), \quad \frac{\partial v}{\partial y} = -2\pi x \sin(2\pi y),
\frac{\partial w}{\partial x} = \sin(2\pi y), \quad \frac{\partial w}{\partial y} = 2\pi x \cos(2\pi y).
O determinante do jacobiano vale
\det J_{(x,y)\to(v,w)} = \begin{vmatrix} \cos(2\pi y) & -2\pi x \sin(2\pi y)\\\ \sin(2\pi y) & 2\pi x \cos(2\pi y) \end{vmatrix} =2\pi x\bigl(\cos^2(2\pi y)+\sin^2(2\pi y)\bigr) =2\pi x.

Passo 4

A densidade conjunta original é
f_{X,Y}(x,y)=1 \quad \text{para }0<x<1,\;0<y<1.
Pelo método do jacobiano, para (v,w) tal que v^2+w^2<1, temos
f_{V,W}(v,w) = f_{X,Y}\bigl(x(v,w),y(v,w)\bigr)\,\frac{1}{\bigl|\det J_{(x,y)\to(v,w)}\bigr|} = \frac{1}{2\pi\,x} = \frac{1}{2\pi\sqrt{v^2+w^2}}.
Fora do disco unitário a densidade é zero.

Resposta

A distribuição conjunta de (V,W)\) é \[f_{V,W}(v,w) = \begin{cases} \dfrac{1}{2\pi\sqrt{v^2+w^2}}, & \text{se }v^2+w^2<1,\\[6pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}
O par (V,W)\] varia no disco \(\{(v,w)\mid v^2+w^2<1\}.]

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