Verifique a posição relativa das retas abaixo. Se forem concorrentes, determine o ponto de intersecção. r: \frac{x-3}{2}=\frac{y+1}{-3}=\frac{z-2}{4}, s:\left\{\begin{array}{l}x=-1+t \\\ y=4-t \\\ z=-8+3 t\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado dá duas retas em \mathbb{R}^3:
r em forma simétrica
Queremos saber se elas são paralelas, coincidentes, concorrentes ou escareadas. Para isso, vamos parametrizar r, comparar diretores e, se não forem paralelas, tentar igualar as coordenadas para achar um possível ponto em comum.
Passo 2
Parametrizando r, introduzimos o parâmetro u:
r:\quad \begin{cases} x = 3 + 2u,\\\ y = -1 -3u,\\\ z = 2 + 4u. \end{cases}
Dessa forma, o vetor diretor de r é
\mathbf{v}_r = (2,\,-3,\;4)
e o de s é
\mathbf{v}_s = (1,\,-1,\;3).
Passo 3
Para ver se são paralelas, comparamos \mathbf{v}_r e \mathbf{v}_s. Se existisse \lambda tal que
(2,\,-3,\,4)=\lambda\,(1,\,-1,\,3),
teríamos proporções 2=\lambda, -3=-\lambda e 4=3\lambda. Mas não existe \lambda que satisfaça todas simultaneamente, pois de 2=\lambda viria \lambda=2 e isso não bate com -3=-\lambda. Logo, as retas não são paralelas; ou elas se cruzam (concorrentes) ou são escareadas.
Passo 4
Para checar interseção, igualamos ponto de r a ponto de s, isto é,