O que dizer da série sumn=1^infty an nos casos abaixo?
(c) lim n infty|anan+1|=2.
15
Determine se as séries abaixo convergem ou divergem.
(a) sumn=0^infty n^22^n;

Passo 1

O enunciado pede para usarmos o teste da razão em duas situações:
  • Caso (c) de uma série genérica sumn=1^inftyan em que
    limntoinftyl|tfracanan+1r|=2.
  • Exercício 15(a), que é a série sumn=0^inftyn^22^n.
    Vamos revisar o teste da razão e aplicá-lo a esses dois casos.

Passo 2

O teste da razão diz: para a série sum an, calcule
L=limntoinftyl|an+1anr|
  • Se L<1, a série converge absolutamente.
  • Se L>1, a série diverge.
  • Se L=1, o teste é inconclusivo.

Passo 3

No caso (c) temos
limntoinftyl|anan+1r| = 2
Logo o limite inverso é
L=limntoinftyl|an+1anr| =12<1
Pelo teste da razão, como L<1, a série sum an converge absolutamente.

Passo 4

Agora para o exercício 15(a), definimos
an=n^22^n
Aplicamos o teste da razão:
an+1an =(n+1)^22^,n+1n^22^,n =(n+1)^2n^2cdot12

Passo 5

Calculamos o limite:
L=limntoinftyan+1an =limntoinfty(n+1)^2n^2cdot12 =;1cdot12 =12<1
Como L<1, concluímos pelo teste da razão que
sumn=0^inftyn^22^n converge absolutamente.

Resposta

(c) A série converge absolutamente.
15(a) sumn=0^inftyn^22^n converge absolutamente.

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