Escolha um dos tipos de equações diferenciais estudadas, apresente sua forma geral, e descreva como resolvê-la. Não se esqueça de detalhes importantes e propriedades que são satisfeitas.
Passo 1
O exercício pede que a gente escolha um tipo de equação diferencial estudada, apresente sua forma geral e explique como resolvê-la, incluindo detalhes teóricos e propriedades satisfeitas. Vou escolher aqui a equação diferencial linear de primeira ordem, pois é um caso clássico, de fácil visualização e que ilustra bem existência, unicidade e princípio de superposição (no caso homogêneo).
Passo 2
A forma geral de uma equação diferencial linear de primeira ordem é
onde
e
são funções contínuas num intervalo
. Esse “
” é o termo linear em
, e
faz a equação ser não homogênea se for diferente de zero.
Passo 3
Para resolver, usamos o fator integrante. Definimos
Multiplicando toda a equação por
, obtemos
Mas o lado esquerdo é justamente a derivada do produto
, isto é,
Agora basta integrar em
:
de onde isolamos
Passo 4
Detalhes importantes e teorema de existência/ unicidade:
- Se
e forem contínuas em , então para qualquer condição inicial há exatamente uma solução definida em todo (Teorema de Picard-Lindelöf para EDOs de ordem lineares). - A solução geral contém uma constante
, que é fixada por uma condição inicial.
Passo 5
Propriedades da equação linear de
ª ordem:
. Linearidade (homogênea): se
, chamamos de homogênea e vale o princípio de superposição: se
e
são soluções, então
também é.
. Estrutura da solução (não homogênea): a solução geral é
onde
é a solução da homogênea e
é qualquer solução particular encontrada pelo fator integrante.
. Dependência contínua dos dados iniciais: pequenas variações em
geram pequenas variações na solução.
Resposta
Escolhi a equação diferencial linear de primeira ordem, cuja forma geral é
e que se resolve por fator integrante
, levando à solução
Sob
contínuas em
, há existência única de solução em
, e ela satisfaz o princípio de superposição no caso homogêneo.