Escolha um dos tipos de equações diferenciais estudadas, apresente sua forma geral, e descreva como resolvê-la. Não se esqueça de detalhes importantes e propriedades que são satisfeitas.

Passo 1

O exercício pede que a gente escolha um tipo de equação diferencial estudada, apresente sua forma geral e explique como resolvê-la, incluindo detalhes teóricos e propriedades satisfeitas. Vou escolher aqui a equação diferencial linear de primeira ordem, pois é um caso clássico, de fácil visualização e que ilustra bem existência, unicidade e princípio de superposição (no caso homogêneo).

Passo 2

A forma geral de uma equação diferencial linear de primeira ordem é
dydx + P(x),y = Q(x),
onde P e Q são funções contínuas num intervalo IsubseteqR. Esse “ +P(x)y” é o termo linear em y, e Q(x) faz a equação ser não homogênea se for diferente de zero.

Passo 3

Para resolver, usamos o fator integrante. Definimos
mu(x) = exp!l(integral P(x),dxr)
Multiplicando toda a equação por mu(x), obtemos
mu(x)dydx + mu(x)P(x),y = mu(x)Q(x)
Mas o lado esquerdo é justamente a derivada do produto mu(x),y, isto é,
ddxl(mu(x),yr) = mu(x),Q(x)
Agora basta integrar em x:
mu(x),y = integral mu(x),Q(x),dx + C,
de onde isolamos
y(x) = 1mu(x)l(integral mu(x),Q(x),dx + Cr)

Passo 4

Detalhes importantes e teorema de existência/ unicidade:
  • Se P e Q forem contínuas em I, então para qualquer condição inicial y(x0)=y0exatamente uma solução definida em todo I (Teorema de Picard-Lindelöf para EDOs de 1^ªª ordem lineares).
  • A solução geral contém uma constante C, que é fixada por uma condição inicial.

Passo 5

Propriedades da equação linear de 1ª ordem:
1. Linearidade (homogênea): se Q(x)equiv0, chamamos de homogênea e vale o princípio de superposição: se y1 e y2 são soluções, então a,y1 + b,y2 também é.
2. Estrutura da solução (não homogênea): a solução geral é
y(x) = yh(x) + yp(x),
onde
yh(x) = C,e^-integral P(x),dx
é a solução da homogênea e yp(x) é qualquer solução particular encontrada pelo fator integrante.
3. Dependência contínua dos dados iniciais: pequenas variações em y0 geram pequenas variações na solução.

Resposta

Escolhi a equação diferencial linear de primeira ordem, cuja forma geral é
dydx + P(x),y = Q(x),
e que se resolve por fator integrante mu(x)=e^integral P(x),dx, levando à solução
y(x)=1mu(x)l(integral mu(x),Q(x),dx + Cr)
Sob P,Q contínuas em I, há existência única de solução em I, e ela satisfaz o princípio de superposição no caso homogêneo.

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