Resolva
.
Passo 1
No enunciado temos a equação diferencial
,
com . Isso é uma equação de primeira ordem na forma diferencial
. Para resolver, vamos verificar se ela é exata ou então encontrar um fator integrante.
com
Passo 2
Definimos
Calculamos as derivadas parciais:
e
.
Como , a forma não é exata.
Como
Passo 3
Buscamos um fator integrante que dependa só de
. Usamos a fórmula
que é função de
apenas. Logo
Passo 4
Multiplicando a equação original por
, obtemos
Agora definindo
e
,
vemos
e
,
logo a forma é exata.
vemos
logo a forma é exata.
Passo 5
Procuramos
tal que
e
.
Integramos em
:
Integramos
Derivando em
dá
,
que deve igualar . Logo
e
é constante.
que deve igualar
Resposta
A solução geral, de forma implícita, é
com
constante arbitrária.