Resolva (x+y) d x+x ln x d y=0, x>0.

Passo 1

No enunciado temos a equação diferencial
(x+y),dx + xln x,dy = 0,
com x>0. Isso é uma equação de primeira ordem na forma diferencial M(x,y),dx + N(x,y),dy=0. Para resolver, vamos verificar se ela é exata ou então encontrar um fator integrante.

Passo 2

Definimos
M(x,y)=x+y,
N(x,y)=xln x
Calculamos as derivadas parciais:
partial M/partial y=1 e
partial N/partial x=ln x+1.
Como 1neqln x+1, a forma não é exata.

Passo 3

Buscamos um fator integrante que dependa só de x. Usamos a fórmula
partial M/partial y-partial N/partial xN =1-(ln x+1)xln x =-1x,
que é função de x apenas. Logo
mu(x)=exp!l(integral -tfrac1x,dxr) =x^-1

Passo 4

Multiplicando a equação original por mu(x)=1/x, obtemos
l(1+yxr),dx + ln x,dy = 0
Agora definindo
widetilde M=1+y/x e widetilde N=ln x,
vemos
partialwidetilde M/partial y=1/x e
partialwidetilde N/partial x=1/x,
logo a forma é exata.

Passo 5

Procuramos F(x,y) tal que
partial F/partial x=widetilde M e
partial F/partial y=widetilde N.
Integramos widetilde M em x:
F(x,y)=integrall(1+yxr),dx = x + yln x + h(y)
Derivando em y
partial F/partial y=ln x + h'(y),
que deve igualar widetilde N=ln x. Logo h'(y)=0 e h(y) é constante.

Resposta

A solução geral, de forma implícita, é
x + yln x = C,
com C constante arbitrária.

Exercícios relacionados