Verifique que 2 t g^-1(e^r)+t g^-1(cos theta)=pi2 é solução do problema de valor inicial
d rd theta=sen theta+e^2 r sen theta2 e^r+2 e^r cos ^2 theta, r(0)=pi2
Lembre-se que tg^-1(r)=arctg(r).

Passo 1

O problema de valor inicial é
drdtheta =sintheta+e^2rsintheta2e^r+2e^rcos^2theta, r(0)=pi2,
e a expressão a verificar é
2arctan(e^r)+arctan(costheta)=pi2
Vamos primeiro checar que essa relação implícita gera a EDO dada e depois testar a condição inicial.

Passo 2

Diferenciando em relação a theta a identidade
2arctan(e^r)+arctan(costheta) =pi2
temos
2;ddthetal[arctan(e^r)r] +ddthetal[arctan(costheta)r] =0

Passo 3

Calculamos cada derivada:
ddthetal[arctan(e^r)r] =11+(e^r)^2,ddtheta(e^r) =e^r1+e^2r;drdtheta,
ddthetal[arctan(costheta)r] =-sintheta1+cos^2theta
Substituindo em
2cdote^r1+e^2r;drdtheta -sintheta1+cos^2theta=0
isolamos drdtheta:
drdtheta =sintheta1+cos^2theta;1+e^2r2e^r =sintheta+e^2rsintheta2e^r+2e^rcos^2theta,
que coincide exatamente com a EDO dada.

Passo 4

Agora testamos a condição inicial theta=0. Da relação implícita,
2arctanl(e^r(0)r) +arctan(cos0) =pi2 ;Longrightarrow; 2arctanl(e^r(0)r)+pi4 =pi2 ;Longrightarrow; arctanl(e^r(0)r)=pi8 ;Longrightarrow; r(0)=lnl(tan(tfracpi8)r),
que difere de tfracpi2. Logo a condição r(0)=tfracpi2 não fica satisfeita.

Resposta

A relação implícita satisfaz a equação diferencial, mas não satisfaz a condição inicial r(0)=tfracpi2; portanto ela não é solução do problema de valor inicial dado.

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