Resolva a EDO x d yd x-y=x^2 com a condição inicial y(1)=2.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de primeira ordem
xdydx-y=x^2
com a condição inicial y(1)=2.
Aqui vamos usar o método de equações lineares de primeira ordem, encontrando um fator integrante.

Passo 2

Primeiro colocamos a EDO na forma padrão dydx+P(x)y=Q(x). Dividindo tudo por x (supondo xneq0), vem
dydx-1xy = x

Passo 3

Calculamos o fator integrante
mu(x) = e^integral P(x),dx = e^integral -1x,dx = e^-ln|x| = x^-1

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por mu(x)=x^-1, obtendo
x^-1dydx-x^-2y = 1
Repare que o lado esquerdo é precisamente
ddxl(y,x^-1r)=1

Passo 5

Integrando em cada membro,
y,x^-1 = integral 1,dx = x + C
Multiplicando por x, isolamos
y = x^2 + Cx

Passo 6

Aplicamos a condição inicial y(1)=2:
2 = 1^2 + Ccdot1 Longrightarrow C = 1
Logo a solução particular é
y = x^2 + x

Resposta

y(x) = x^2 + x

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