Nos exercícios de 1 a 75 calcular a derivada.
f(x)=\sqrt[3]{\left(3 x^{2}+6 x-2\right)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=\sqrt[3]{\left(3 x^{2}+6 x-2\right)^{2}}.
Informações dadas: a expressão interna é 3x^{2}+6x-2 e a função é a raiz cúbica do quadrado dessa expressão. O objetivo é obter f'(x) (a derivada de f em função de x). Não resolve nada ainda — só coloquei o que você precisa calcular e o que temos.

Passo 2

Primeira simplificação algébrica útil: podemos reescrever a função usando potências racionais. Lembre que \sqrt[3]{A} = A^{1/3}. Então
f(x)=\left(\left(3x^{2}+6x-2\right)^{2}\right)^{1/3}=\left(3x^{2}+6x-2\right)^{2/3}.
Observação extra (útil para entender a forma da função): como há um quadrado dentro, \left(3x^{2}+6x-2\right)^{2}= \bigl|3x^{2}+6x-2\bigr|^{2}, portanto f(x)=\bigl|3x^{2}+6x-2\bigr|^{2/3}. Isso explica por que f(x) é sempre não-negativa e por que podem ocorrer “pontas” (não diferenciação) quando 3x^{2}+6x-2=0.

Passo 3

Revisão das regras que vou usar (bem mastigadas):
  • Regra da potência composta (caso simples): se h(x)=x^{n} então h'(x)=n x^{n-1}.
  • Regra da cadeia (muito importante): se F(x)=\Phi\bigl(u(x)\bigr), então
F'(x)=\Phi'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).
No nosso caso \Phi(t)=t^{1/3} e u(x)=(3x^{2}+6x-2)^{2}, ou diretamente tratamos f(x)=\bigl(3x^{2}+6x-2\bigr)^{2/3} e aplicamos a forma composta da regra da potência: se f(x)=\bigl(u(x)\bigr)^{p} então
f'(x)=p\bigl(u(x)\bigr)^{p-1}u'(x).
Aqui p=\tfrac{2}{3} e u(x)=3x^{2}+6x-2.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia passo a passo (usando f(x)=\bigl(u(x)\bigr)^{2/3} com u(x)=3x^{2}+6x-2):
  1. Derivada externa: p=\tfrac{2}{3} então o fator é \tfrac{2}{3}\bigl(u(x)\bigr)^{2/3-1}=\tfrac{2}{3}\bigl(u(x)\bigr)^{-1/3}.
  2. Derivada interna: u'(x)=\dfrac{d}{dx}\bigl(3x^{2}+6x-2\bigr)=6x+6=6(x+1).
  3. Multiplicando:
f'(x)=\frac{2}{3}\bigl(3x^{2}+6x-2\bigr)^{-1/3}\cdot(6x+6).

Passo 5

Agora simplificamos os constantes e fatores numéricos:
\frac{2}{3}\cdot(6x+6)=\frac{2}{3}\cdot 6(x+1)=4(x+1).
Portanto a forma simplificada da derivada é
f'(x)=4(x+1)\bigl(3x^{2}+6x-2\bigr)^{-1/3}.
Em forma de fração com raiz cúbica no denominador:
f'(x)=\frac{4(x+1)}{\sqrt[3]{\,3x^{2}+6x-2\,}}.

Passo 6

Domínio da fórmula e observações finais (muito importantes na prova):
  • A expressão final está bem definida para todos os x tais que 3x^{2}+6x-2\neq 0, pois o expoente -1/3 exige que não tenhamos divisão por zero.
  • As raízes de 3x^{2}+6x-2=0 são, calculando a fórmula quadrática,
x=\frac{-3\pm\sqrt{15}}{3}.
Nesses dois pontos a derivada não existe: a função tem um comportamento tipo |x-a|^{2/3} próximo à raiz a, e a inclinação tende a infinito (ponta), então não há derivada finita aí.
  • Resumindo: a expressão encontrada vale para todo x exceto nas duas raízes acima, onde f' não existe.

Resposta

f'(x)=4(x+1)\bigl(3x^{2}+6x-2\bigr)^{-1/3}=\frac{4(x+1)}{\sqrt[3]{\,3x^{2}+6x-2\,}},\quad x\neq\frac{-3\pm\sqrt{15}}{3}

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