Usando a definição, encontre as derivadas das funções abaixo no ponto x0 dado:
f(x)=(x+1)^3, x0=0

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a pergunta está pedindo. Precisamos encontrar a derivada da função f(x) = (x + 1)^3 no ponto x0 = 0 . Isso está relacionado ao conteúdo de cálculo, especificamente ao conceito de derivadas. Para resolver isso, vamos usar a definição de derivada, que nos ajuda a encontrar a taxa de variação da função em um ponto específico.

Passo 2

A definição de derivada de uma função f no ponto x0 é dada por:
f'(x0) = limh to 0 f(x0 + h) - f(x0)h
Essa fórmula nos mostra como calcular a derivada usando limites. Vamos aplicar isso à nossa função f(x) = (x + 1)^3 no ponto x0 = 0 .

Passo 3

Primeiro, substituímos f(x0 + h) e f(x0) na fórmula:
f(0 + h) = (0 + h + 1)^3 = (h + 1)^3
f(0) = (0 + 1)^3 = 1^3 = 1

Passo 4

Agora, substituímos esses valores na definição de derivada:
f'(0) = limh to 0 (h + 1)^3 - 1h

Passo 5

Vamos expandir o termo (h + 1)^3 usando a fórmula do binômio de Newton:
(h + 1)^3 = h^3 + 3h^2 + 3h + 1

Passo 6

Substituímos isso na expressão da derivada:
f'(0) = limh to 0 h^3 + 3h^2 + 3h + 1 - 1h = limh to 0 h^3 + 3h^2 + 3hh

Passo 7

Simplificamos a fração dividindo cada termo do numerador por h :
f'(0) = limh to 0 (h^2 + 3h + 3)

Passo 8

Agora, aplicamos o limite de h tendendo a 0:
f'(0) = 0^2 + 3 cdot 0 + 3 = 3

Resposta

A derivada de f(x) = (x + 1)^3 no ponto x0 = 0 é f'(0) = 3 .

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