\documentclass[12pt]{article}\usepackage{amsmath}\begin{document}
  1. Determine a equação da reta tangente à curva y = x^3 - 2x no ponto onde x = 2.
\end{document}
\documentclass[12pt]{article}\usepackage{amsmath}\begin{document}
  1. Determine a equação da reta normal à curva y = x^3 - 2x no ponto onde x = 2.
\end{document}

Passo 1

O enunciado pede as equações da reta tangente e da reta normal à curva y=x^3-2x no ponto onde x=2. Para resolver, vamos precisar de: (i) derivada de y para achar a inclinação da tangente; (ii) coordenadas do ponto de tangência (2,y(2)); (iii) inclinação da reta normal, que é o negativo do inverso da inclinação da tangente.

Passo 2

Calcular a derivada de y. Como y=x^3-2x, aplicamos a regra de potência em cada termo:
y'(x)=\frac{d}{dx}(x^3)-\frac{d}{dx}(2x)=3x^2-2.

Passo 3

Avaliar a derivada em x=2 para obter a inclinação m_t da reta tangente:
m_t=y'(2)=3\cdot(2)^2-2=12-2=10.

Passo 4

Obter as coordenadas do ponto de tangência substituindo x=2 em y:
y(2)=(2)^3-2\cdot2=8-4=4.
Logo, o ponto é (2,4).

Passo 5

Escrever a equação da reta tangente usando a forma ponto-inclinação com m_t=10 e ponto (2,4):
y-4=10\,(x-2).
Isolando y:
y=10x-20+4=10x-16.

Passo 6

A reta normal é perpendicular à tangente, então sua inclinação m_n é
m_n=-\frac{1}{m_t}=-\frac{1}{10}.

Passo 7

Escrever a equação da reta normal com m_n=-\tfrac{1}{10} passando por (2,4):
y-4=-\frac{1}{10}\,(x-2).
Isolando y:
y=-\frac{1}{10}x+\frac{2}{10}+4 =-\frac{1}{10}x+\frac{1}{5}+\frac{20}{5} =-\frac{1}{10}x+\frac{21}{5}.

Resposta

A reta tangente é
y = 10x - 16
e a reta normal é
y = -\frac{1}{10}x + \frac{21}{5}.

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