Dodo sen theta=a, sendo theta um arco do segundo quadrante, encontre as demais razdes trigonométricas. (4 escores)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que sin theta = a, onde theta está no segundo quadrante. Nosso objetivo é encontrar as outras razões trigonométricas de theta: cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante. Para isso, vamos usar algumas fórmulas básicas de trigonometria, como a identidade pitagórica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da identidade pitagórica, que relaciona o seno e o cosseno de um ângulo:
sin^2 theta + cos^2 theta = 1
Como já sabemos que sin theta = a, podemos substituir na equação:
a^2 + cos^2 theta = 1

Passo 3

Agora, vamos isolar cos^2 theta:
cos^2 theta = 1 - a^2
Para achar cos theta, tiramos a raiz quadrada dos dois lados. Mas lembra que a raiz quadrada pode ser positiva ou negativa:
cos theta = pm raiz1 - a^2

Passo 4

Como theta está no segundo quadrante, sabemos que o cosseno é negativo nessa região. Então:
cos theta = -raiz1 - a^2

Passo 5

Agora, vamos encontrar a tangente usando a definição:
tan theta = sin thetacos theta = a -raiz1 - a^2 = -araiz1 - a^2

Passo 6

A cotangente é o inverso da tangente:
cot theta = 1tan theta = -raiz1 - a^2a

Passo 7

A secante é o inverso do cosseno:
sec theta = 1cos theta = -1raiz1 - a^2

Passo 8

E a cossecante é o inverso do seno:
csc theta = 1sin theta = 1a

Resposta

As demais razões trigonométricas são:
cos theta = -raiz1 - a^2
tan theta = -araiz1 - a^2
cot theta = -raiz1 - a^2a
sec theta = -1raiz1 - a^2
csc theta = 1a

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