Dois alto-falantes (S1 e S2), alimentados pelo mesmo amplificador, estão posicionados em y1=1,0 m e y2=-1,0 m. Os alto-falantes vibram a 600 Hz. Um homem, inicialmente em pé em um ponto do eixo-X distante da origem, começa a mover-se paralelamente ao eixo-Y. Considerando a velocidade do som no ar igual a 330 m / s responda:
A que valor do ângulo theta o homem ouvirá um mínimo de intensidade pela primeira vez? Resp.: theta=0.1375 rad=7.9^circ

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a pergunta está pedindo. Temos dois alto-falantes, $ S_1 $ e $ S_2 $, posicionados em $ y_1 = 1,0 , m $ e $ y_2 = -1,0 , m $ respectivamente. Eles estão vibrando a uma frequência de 600 Hz e são alimentados pelo mesmo amplificador. Um cara está inicialmente distante na direção do eixo-X e começa a se mover paralelamente ao eixo-Y. Queremos descobrir em que ângulo $ \theta $ esse homem ouvirá um mínimo de intensidade sonora pela primeira vez. Para resolver isso, vamos usar conceitos de interferência sonora e diferença de caminho óptico.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que quando duas ondas sonoras provenientes de duas fontes distintas se encontram, elas podem interferir construtivamente ou destrutivamente. Isso depende da diferença de caminho que as ondas percorrem até chegar ao ouvinte.

Passo 3

Para ter um mínimo de intensidade, as ondas precisam interferir de forma destrutiva. Isso ocorre quando a diferença de caminho $ \Delta d $ entre as ondas dos dois alto-falantes é igual a meio comprimento de onda $ \lambda/2 $.

Passo 4

Vamos encontrar o comprimento de onda $ \lambda $ das ondas sonoras. Sabemos que:
lambda
onde $ v = 330 , m/s $ é a velocidade do som no ar e $ f = 600 , Hz $ é a frequência dos alto-falantes.

Passo 5

Calculando $ \lambda $:
lambda

Passo 6

Agora, a diferença de caminho para interferência destrutiva é:
De

Passo 7

O homem está se movendo paralelamente ao eixo-Y. Vamos considerar que, em determinado ângulo $ \theta $ em relação ao eixo-X, as ondas provenientes de $ S_1 $ e $ S_2 $ têm uma diferença de caminho igual a $ \Delta d $.

Passo 8

Usando geometry básica, a diferença de caminho pode ser relacionada ao ângulo $ \theta $ pela seguinte relação:
theta
onde $ y = 1,0 , m $ é a distância de cada alto-falante ao eixo-X.

Passo 9

Substituindo $ \Delta d $ e $ y $ na equação:
De
y

Passo 10

Resolvendo para $ \sin \theta $:
sin theta

Passo 11

Agora, encontramos $ \theta $ tirando o arco seno de 0,1375:
theta

Resposta

O homem ouvirá um mínimo de intensidade quando o ângulo $ \theta $ for aproximadamente $ 0,1375 , rad $ ou $ 7,9^\circ $.

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