Dois tubos cilíndricos finos A e B têm mesmo comprimento. O tubo A que é aberto em ambos os lados estâ cheio com um gás monoatômico de massa molar MA. O tubo B é fechado em um dos lados e está cheio com um gás diatômico de massa molar MB. Ambos os gases estão á mesma temperatura.
Se a frequência do segundo harmônico do modo fundamental no tubo A é igual à frequência do terceiro harmônico do modo fundamental no tubo B determine o valor da razão MA / MB.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem dois tubos cilíndricos, o A e o B, do mesmo tamanho. O tubo A está aberto dos dois lados e cheio com um gás monoatômico de massa molar $ M_A $. Já o tubo B está fechado de um lado e cheio com um gás diatômico de massa molar $ M_B $. Ambos os gases estão na mesma temperatura. A parada é que a frequência do segundo harmônico no tubo A é igual à frequência do terceiro harmônico no tubo B. Nosso objetivo é descobrir a razão $ \frac{M_A}{M_B} $.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar como calcular as frequências dos harmônicos nos tubos. Para isso, vamos usar a fórmula geral das frequências nos tubos sonoros, que depende do tipo de tubo (aberto ou fechado) e do modo harmônico considerado.

Passo 3

No tubo A, que é aberto nos dois lados, os harmônicos são múltiplos inteiros da frequência fundamental. A fórmula para a frequência do n-ésimo harmônico é:
fA(n) = n cdot fA1
Onde $ f_{A1} $ é a frequência fundamental do tubo A.

Passo 4

No tubo B, que é fechado em um lado, os harmônicos são apenas os ímpares. A fórmula para a frequência do n-ésimo harmônico é:
fB(n) = n cdot fB1
Mas como é fechado de um lado, $ n $ só pode ser ímpar (1, 3, 5, …).

Passo 5

Sabemos que a frequência do segundo harmônico de A é igual à frequência do terceiro harmônico de B. Então:
fA(2) = fB(3)

Passo 6

Vamos substituir as fórmulas das frequências:
2 cdot fA1 = 3 cdot fB1
Isso nos dá uma relação entre as frequências fundamentais dos dois tubos.

Passo 7

A frequência fundamental de um tubo depende da velocidade do som no gás e do comprimento do tubo. A fórmula geral é:
f1 = v2L
Para tubos abertos, a velocidade do som $ v $ é:
v
Onde:
  • $ \gamma $ é a razão dos calores específicos,
  • $ R $ é a constante dos gases,
  • $ T $ é a temperatura,
  • $ M $ é a massa molar do gás.

Passo 8

Como os tubos têm o mesmo comprimento e a temperatura é igual, podemos igualar as expressões das frequências fundamentais:
fA1 = vA2L = vB2L = fB1
Portanto:
vA = vB

Passo 9

Agora, vamos expressar as velocidades dos sons nos dois tubos:
vA = raizgammaA cdot R cdot TMA
vB = raizgammaB cdot R cdot TMB
Como $ v_A = v_B $:
vA = vB
Elevando ambos os lados ao quadrado:
raizgammaAMA = raizgammaBMB

Passo 10

Agora, vamos voltar à relação das frequências:
2 cdot fA1 = 3 cdot fB1
Como $ f_{A1} = f_{B1} $:
fA1 = fB1
Isso não faz sentido, então devemos considerar que a razão das frequências envolve também a relação das massas molares.

Passo 11

Usando a relação de velocidades:
gammaAMA = gammaBMB
Rearranjando:
MAMB = gammaAgammaB

Passo 12

Sabemos que para um gás monoatômico, $ \gamma_A = \frac{5}{3} $ e para um gás diatômico, $ \gamma_B = \frac{7}{5} $. Substituindo:
gammaA = 53

Resposta

A razão $ \frac{M_A}{M_B} $ é igual a $ \frac{25}{21} $.

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