Dois tubos cilíndricos finos
e
têm mesmo comprimento. O tubo
que é aberto em ambos os lados estâ cheio com um gás monoatômico de massa molar
. O tubo
é fechado em um dos lados e está cheio com um gás diatômico de massa molar
. Ambos os gases estão á mesma temperatura.
Se a frequência do segundo harmônico do modo fundamental no tubo
é igual à frequência do terceiro harmônico do modo fundamental no tubo
determine o valor da razão
.
Se a frequência do segundo harmônico do modo fundamental no tubo
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem dois tubos cilíndricos, o A e o B, do mesmo tamanho. O tubo A está aberto dos dois lados e cheio com um gás monoatômico de massa molar $ M_A $. Já o tubo B está fechado de um lado e cheio com um gás diatômico de massa molar $ M_B $. Ambos os gases estão na mesma temperatura. A parada é que a frequência do segundo harmônico no tubo A é igual à frequência do terceiro harmônico no tubo B. Nosso objetivo é descobrir a razão $ \frac{M_A}{M_B} $.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar como calcular as frequências dos harmônicos nos tubos. Para isso, vamos usar a fórmula geral das frequências nos tubos sonoros, que depende do tipo de tubo (aberto ou fechado) e do modo harmônico considerado.
Passo 3
No tubo A, que é aberto nos dois lados, os harmônicos são múltiplos inteiros da frequência fundamental. A fórmula para a frequência do n-ésimo harmônico é:
Onde $ f_{A1} $ é a frequência fundamental do tubo A.
Passo 4
No tubo B, que é fechado em um lado, os harmônicos são apenas os ímpares. A fórmula para a frequência do n-ésimo harmônico é:
Mas como é fechado de um lado, $ n $ só pode ser ímpar (1, 3, 5, …).
Passo 5
Sabemos que a frequência do segundo harmônico de A é igual à frequência do terceiro harmônico de B. Então:
Passo 6
Vamos substituir as fórmulas das frequências:
Isso nos dá uma relação entre as frequências fundamentais dos dois tubos.
Passo 7
A frequência fundamental de um tubo depende da velocidade do som no gás e do comprimento do tubo. A fórmula geral é:
Para tubos abertos, a velocidade do som $ v $ é:
Onde:
- $ \gamma $ é a razão dos calores específicos,
- $ R $ é a constante dos gases,
- $ T $ é a temperatura,
- $ M $ é a massa molar do gás.
Passo 8
Como os tubos têm o mesmo comprimento e a temperatura é igual, podemos igualar as expressões das frequências fundamentais:
Portanto:
Passo 9
Agora, vamos expressar as velocidades dos sons nos dois tubos:
Como $ v_A = v_B $:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Passo 10
Agora, vamos voltar à relação das frequências:
Como $ f_{A1} = f_{B1} $:
Isso não faz sentido, então devemos considerar que a razão das frequências envolve também a relação das massas molares.
Passo 11
Usando a relação de velocidades:
Rearranjando:
Passo 12
Sabemos que para um gás monoatômico, $ \gamma_A = \frac{5}{3} $ e para um gás diatômico, $ \gamma_B = \frac{7}{5} $. Substituindo:
Resposta
A razão $ \frac{M_A}{M_B} $ é igual a $ \frac{25}{21} $.