No produto F=q v times B, faça q=2, Sendo v=2 i+4 j+6 k e F=4 i-2 j+12 k. Determine B, na notação dos vetores unitários, para B x=B y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que temos envolve física, mais especificamente o produto vetorial entre vetores. A gente precisa encontrar o vetor B sabendo que Bx = By. Para resolver isso, vamos usar a fórmula do produto vetorial e as informações que nos foram dadas: a carga q, o vetor velocidade v e a força F.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula que relaciona força, carga, velocidade e campo magnético:
F = q (v times B)
Aqui, times representa o produto vetorial entre dois vetores. Nosso objetivo é encontrar B.

Passo 3

Vamos substituir os valores que já conhecemos na equação. Sabemos que q = 2, v = 2i + 4j + 6k e F = 4i - 2j + 12k. Então, a equação fica:
4i - 2j + 12k = 2 (v times B)

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto vetorial v times B. Vamos assumir que B = Bxi + Byj + Bzk. Então:
v times B = i & j & k 2 & 4 & 6 Bx & By & Bz
Calculando o determinante:
v times B = i(4Bz - 6By) - j(2Bz - 6Bx) + k(2By - 4Bx)

Passo 5

Agora, multiplicamos o resultado do produto vetorial por 2 (porque q = 2) e igualamos a F:
2 (v times B) = 2i(4Bz - 6By) - 2j(2Bz - 6Bx) + 2k(2By - 4Bx) = 4i - 2j + 12k
Isso nos dá o sistema de equações:
2(4Bz - 6By) = 4 -2(2Bz - 6Bx) = -2 2(2By - 4Bx) = 12

Passo 6

Vamos simplificar cada equação:
  1. 8Bz - 12By = 4 8Bz - 12By = 4
  2. -4Bz + 12Bx = -2 -4Bz + 12Bx = -2
  3. 4By - 8Bx = 12 4By - 8Bx = 12
Sabemos que Bx = By, então podemos substituir By por Bx nas equações:
  1. 8Bz - 12Bx = 4
  2. -4Bz + 12Bx = -2
  3. 4Bx - 8Bx = 12 -4Bx = 12 Bx = -3
Agora que temos Bx = -3, e como By = Bx, então By = -3.
Vamos substituir Bx = -3 na segunda equação para encontrar Bz:
-4Bz + 12(-3) = -2 -4Bz - 36 = -2 -4Bz = 34 Bz = -344 = -8.5

Resposta

O vetor B é:
B = -3,i - 3,j - 8.5,k

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