Dois ângulos são suplementares e a razão entre o complemento de um e o suplemento do outro, nessa ordem, é 18. Determine esses ângulos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem dois ângulos que são suplementares, ou seja, a soma deles é 180 graus. Além disso, a razão entre o complemento de um deles e o suplemento do outro é 18. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são ângulos suplementares e complementares, e usar um pouco de álgebra para encontrar os valores desses ângulos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significam ângulos suplementares e complementares:
  • Ângulos Suplementares: Dois ângulos são suplementares se a soma deles é igual a 180 graus.
  • Ângulos Complementares: Dois ângulos são complementares se a soma deles é igual a 90 graus.
Vamos chamar os dois ângulos de A e B. Sabemos que:
A + B = 180^circ

Passo 3

Agora, precisamos entender a parte da razão entre o complemento de um ângulo e o suplemento do outro. Vamos detalhar isso:
  • Complemento de A: É o que falta para A chegar a 90 graus. Então, o complemento de A é 90^circ - A.
  • Suplemento de B: Já sabemos que a soma de B com seu suplemento é 180 graus, então o suplemento de B é 180^circ - B.
Segundo o enunciado, a razão entre o complemento de A e o suplemento de B é 18:
90^circ - A180^circ - B = 18

Passo 4

Agora, vamos usar a primeira equação ( A + B = 180^circ) para expressar uma das variáveis em função da outra. Vamos isolar B:
B = 180^circ - A
Vamos substituir essa expressão na segunda equação:
90^circ - A180^circ - (180^circ - A) = 18
Simplificando o denominador:
180^circ - 180^circ + A = A
Então, a equação fica:
90^circ - AA = 18

Passo 5

Vamos resolver essa equação para encontrar o valor de A. Vamos multiplicar ambos os lados por A para eliminar a fração:
90^circ - A = A8
Agora, vamos somar A nos dois lados para trazer todas as variáveis para um lado:
90^circ = A8 + A
Para facilitar, vamos somar as frações:
90^circ = A + 8A8
90^circ = 9A8
Agora, multiplicamos ambos os lados por 8 para isolar A:
90^circ times 8 = 9A
720^circ = 9A
Dividindo ambos os lados por 9:
A = 720^circ9 = 80^circ

Passo 6

Agora que encontramos A = 80^circ, vamos encontrar B usando a primeira equação:
B = 180^circ - A = 180^circ - 80^circ = 100^circ

Resposta

Os ângulos são 80^circ e 100^circ.

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