Dois ângulos são suplementares e a razão entre o complemento de um e o suplemento do outro, nessa ordem, é
. Determine esses ângulos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem dois ângulos que são suplementares, ou seja, a soma deles é 180 graus. Além disso, a razão entre o complemento de um deles e o suplemento do outro é
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são ângulos suplementares e complementares, e usar um pouco de álgebra para encontrar os valores desses ângulos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significam ângulos suplementares e complementares:
- Ângulos Suplementares: Dois ângulos são suplementares se a soma deles é igual a 180 graus.
- Ângulos Complementares: Dois ângulos são complementares se a soma deles é igual a 90 graus.
Vamos chamar os dois ângulos de
e
. Sabemos que:
Passo 3
Agora, precisamos entender a parte da razão entre o complemento de um ângulo e o suplemento do outro. Vamos detalhar isso:
- Complemento de
: É o que falta para chegar a 90 graus. Então, o complemento de é . - Suplemento de
: Já sabemos que a soma de com seu suplemento é 180 graus, então o suplemento de é .
Segundo o enunciado, a razão entre o complemento de
e o suplemento de
é
:
Passo 4
Agora, vamos usar a primeira equação (
) para expressar uma das variáveis em função da outra. Vamos isolar
:
Vamos substituir essa expressão na segunda equação:
Simplificando o denominador:
Então, a equação fica:
Passo 5
Vamos resolver essa equação para encontrar o valor de
. Vamos multiplicar ambos os lados por
para eliminar a fração:
Agora, vamos somar
nos dois lados para trazer todas as variáveis para um lado:
Para facilitar, vamos somar as frações:
Agora, multiplicamos ambos os lados por 8 para isolar
:
Dividindo ambos os lados por 9:
Passo 6
Agora que encontramos
, vamos encontrar
usando a primeira equação:
Resposta
Os ângulos são
e
.