Sejam u e v vetores do espaço tais que lang<=u, vrang<==0 e u times v=0. Mostre que u=0 ou v=0.

Passo 1

O enunciado dá dois vetores vec u e vec v em R^3 tais que
lang<=vec u,vec vrang<==0 e vec utimesvec v=overrightarrow 0.
O conteúdo envolve as propriedades do produto interno (ortogonalidade) e do produto vetorial (colinearidade).

Passo 2

Suponha primeiro que vec uneqoverrightarrow 0. Como
vec utimesvec v=overrightarrow 0, concluímos que vec u e vec v são colineares, ou seja, existe lambdain R tal que
vec v = lambda,vec u

Passo 3

Usando a ortogonalidade lang<=vec u,vec vrang<==0 e substituindo vec v=lambdavec u, obtemos
0 = lang<=vec u,vec vrang<= = lang<=vec u,lambdavec urang<= = lambda,lang<=vec u,vec urang<= = lambda,|vec u|^2

Passo 4

Da igualdade lambda,|vec u|^2=0 seguem duas possibilidades:
  • Se lambda=0, então vec v = lambdavec u = overrightarrow 0.
  • Se |vec u|^2=0, então vec u = overrightarrow 0.
    Em ambos os casos um dos vetores é o vetor zero.

Resposta

vec u=overrightarrow 0 ou vec v=overrightarrow 0.

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