Uma partícula de massa m se desloca ao longo do eixo x sob a ação de uma força variável dada por F(x)=3 x^2 (em Newtons). Se a partícula partir do repouso em x=0, determine sua velocidade em x=2 m.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma partícula com massa $ m $ que se move ao longo do eixo $ x $ sob a ação de uma força que depende da posição, dada por $ \mathrm{F}(x) = 3x^2 $ (em Newtons). A partícula parte do repouso, ou seja, com velocidade inicial zero, na posição $ x = 0 $. Queremos descobrir qual será a velocidade dessa partícula quando ela chegar à posição $ x = 2 $ metros. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de força, trabalho e energia cinética.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que a força variável $ \mathrm{F}(x) $ realiza trabalho sobre a partícula quando ela se move de uma posição inicial para uma posição final. O trabalho realizado pela força é igual à variação da energia cinética da partícula.
Matematicamente, isso é expresso por:
F(x)
Como a partícula parte do repouso, sua energia cinética inicial $ K_i $ é zero.

Passo 3

O trabalho realizado pela força $ \mathrm{F}(x) $ ao mover a partícula de $ x = 0 $ até $ x = 2 $ m é dado pela integral da força em relação ao deslocamento:
F(x)
Substituindo $ \mathrm{F}(x) $ por $ 3x^2 $:
x = 0

Passo 4

Vamos calcular essa integral:
W = 3 integral0^2 x^2 , dx = 3 [ x^33 ]0^2 = 3 ( 83 - 0 ) = 8 , Jou<=s

Passo 5

Agora, sabemos que o trabalho $ W $ realizado é igual à variação da energia cinética:
W
Como $ K_i = 0 $:
W = De
Então:
Ki = 0

Passo 6

Resolvendo para $ v $:
v
v^2 = 16m

Resposta

A velocidade da partícula em $ x = 2 $ m é:
x = 2

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