Uma partícula de massa m se desloca ao longo do eixo x sob a ação de uma força variável dada por
(em Newtons). Se a partícula partir do repouso em
, determine sua velocidade em
.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma partícula com massa $ m $ que se move ao longo do eixo $ x $ sob a ação de uma força que depende da posição, dada por $ \mathrm{F}(x) = 3x^2 $ (em Newtons). A partícula parte do repouso, ou seja, com velocidade inicial zero, na posição $ x = 0 $. Queremos descobrir qual será a velocidade dessa partícula quando ela chegar à posição $ x = 2 $ metros. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de força, trabalho e energia cinética.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que a força variável $ \mathrm{F}(x) $ realiza trabalho sobre a partícula quando ela se move de uma posição inicial para uma posição final. O trabalho realizado pela força é igual à variação da energia cinética da partícula.
Matematicamente, isso é expresso por:
Como a partícula parte do repouso, sua energia cinética inicial $ K_i $ é zero.
Passo 3
O trabalho realizado pela força $ \mathrm{F}(x) $ ao mover a partícula de $ x = 0 $ até $ x = 2 $ m é dado pela integral da força em relação ao deslocamento:
Substituindo $ \mathrm{F}(x) $ por $ 3x^2 $:
Passo 4
Vamos calcular essa integral:
Passo 5
Agora, sabemos que o trabalho $ W $ realizado é igual à variação da energia cinética:
Como $ K_i = 0 $:
Então:
Passo 6
Resolvendo para $ v $:
Resposta
A velocidade da partícula em $ x = 2 $ m é: