Dois cachorros puxam horizontalmente cordas amarradas a um poste; o ângulo entre as cordas é igual a 60,0^{\circ}. Se o cachorro A exerce uma força de 270 N e o cachorro B exerce uma força de 300 N , ache o módulo da força resultante e o ângulo que ela faz com a corda do cachorro A.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede as seguintes coisas.
  • Forças exercidas:
    • Força do cachorro A: \,270\\ \text{N}.
    • Força do cachorro B: \,300\\ \text{N}.
  • Geometria:
    • O ângulo entre as duas cordas (entre as duas forças) é \,60,0^\circ.
  • Perguntas:
    1. Qual é o módulo da força resultante (ou seja, do vetor soma \vec{R}=\vec{A}+\vec{B})?
    2. Qual é o ângulo que essa força resultante faz com a corda do cachorro A (isto é, com a direção da força de 270\\ \text{N})?

Passo 2

Entendendo a soma vetorial (a ideia usada para chegar ao módulo): quando dois vetores partem do mesmo ponto com um ângulo entre eles, a magnitude da soma pode ser obtida por uma fórmula muito útil (lei dos cossenos aplicada ao triângulo formado pelos vetores). A fórmula diz que, se dois vetores têm magnitudes A e B e o ângulo entre eles é \theta, então o quadrado da magnitude da resultante R é
R^2 = A^2 + B^2 + 2 A B \cos\theta.
Aqui A significa o módulo da força do cachorro A (ou seja, A=270), B é o módulo da força do cachorro B ( B=300) e \theta=60,0^\circ. Vou usar essa fórmula para achar R. (Explicação curta do porquê: é exatamente a lei dos cossenos de geometria aplicada ao triângulo que tem lados iguais aos vetores quando se coloca um encostado na cabeça do outro.)

Passo 3

Aplicando a fórmula da etapa anterior com os valores numéricos:
A=270,\qquad B=300,\qquad \theta=60,0^\circ,\qquad \cos 60{,}0^\circ=\tfrac{1}{2}.
Então
R^2 = 270^2 + 300^2 + 2\cdot270\cdot300\cdot\frac{1}{2}.
Calcule passo a passo os termos:
270^2 = 72\,900, \qquad 300^2 = 90\,000, \qquad 2\cdot270\cdot300\cdot\frac{1}{2} = 270\cdot300 = 81\,000.
Somando:
R^2 = 72\,900 + 90\,000 + 81\,000 = 243\,900.
Portanto
R = \sqrt{243\,900}.

Passo 4

Avaliar a raiz quadrada com cuidado para obter o valor numérico útil na prova. Podemos escrever \,243\,900 = 100\cdot 2\,439 e então
R = 10\sqrt{2\,439}.
Uma aproximação numérica (bastante precisa) é
R \approx 493{,}9\\ \text{N}.
(Detalhe: 493{,}9^2 dá aproximadamente 243\,900, logo é um arredondamento consistente.)

Passo 5

Agora vamos achar o ângulo \varphi que a resultante faz com a corda do cachorro A. A maneira mais direta e didática é decompor os vetores em componentes cartesianas: colocar a força do cachorro A ao longo do eixo x positivo. Assim:
  • Componentes da força A: A_x = 270,\qquad A_y = 0.
  • Componentes da força B (ela forma \theta=60{,}0^\circ com A): B_x = 300\cos 60{,}0^\circ = 300\cdot\frac{1}{2}=150,
B_y = 300\sin 60{,}0^\circ = 300\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=150\sqrt{3}.
(Recordando: \sin 60{,}0^\circ=\tfrac{\sqrt{3}}{2} e \sqrt{3}\approx1{,}73205.)

Passo 6

Somando componentes para obter a resultante:
R_x = A_x + B_x = 270 + 150 = 420,
R_y = A_y + B_y = 0 + 150\sqrt{3} = 150\sqrt{3}\approx 259{,}8076.
O ângulo \varphi entre a resultante e a direção de A (eixo x) satisfaz
\tan\varphi = \frac{R_y}{R_x} = \frac{150\sqrt{3}}{420} = \frac{5\sqrt{3}}{14}.
Portanto
\varphi = \arctan\!\left(\frac{5\sqrt{3}}{14}\right).

Passo 7

Avaliação numérica do ângulo:
\frac{5\sqrt{3}}{14}\approx 0{,}6185896,
logo
\varphi \approx 31{,}8^\circ
(mais precisamente cerca de 31{,}7^\circ; arredondando para uma casa decimal dá 31{,}8^\circ.)

Passo 8

Resumo rápido de verificação: pode-se verificar que a magnitude obtida a partir das componentes,
R=\sqrt{R_x^2+R_y^2}=\sqrt{420^2+(150\sqrt{3})^2}=\sqrt{243\,900},
coincide com o valor calculado pela lei dos cossenos, portanto os cálculos são consistentes.

Resposta

R\approx 493{,}9\\ \text{N}
\varphi\approx 31{,}8^\circ

Exercícios relacionados