Dois cachorros puxam horizontalmente cordas amarradas a um poste; o ângulo entre as cordas é igual a
. Se o cachorro A exerce uma força de 270 N e o cachorro B exerce uma força de 300 N , ache o módulo da força resultante e o ângulo que ela faz com a corda do cachorro A.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede as seguintes coisas.
- Forças exercidas:
- Força do cachorro A:
. - Força do cachorro B:
.
- Força do cachorro A:
- Geometria:
- O ângulo entre as duas cordas (entre as duas forças) é
.
- O ângulo entre as duas cordas (entre as duas forças) é
- Perguntas:
- Qual é o módulo da força resultante (ou seja, do vetor soma
)? - Qual é o ângulo que essa força resultante faz com a corda do cachorro A (isto é, com a direção da força de
)?
- Qual é o módulo da força resultante (ou seja, do vetor soma
Passo 2
Entendendo a soma vetorial (a ideia usada para chegar ao módulo): quando dois vetores partem do mesmo ponto com um ângulo entre eles, a magnitude da soma pode ser obtida por uma fórmula muito útil (lei dos cossenos aplicada ao triângulo formado pelos vetores). A fórmula diz que, se dois vetores têm magnitudes
e
e o ângulo entre eles é
, então o quadrado da magnitude da resultante
é
Aqui
significa o módulo da força do cachorro A (ou seja,
),
é o módulo da força do cachorro B (
) e
. Vou usar essa fórmula para achar
. (Explicação curta do porquê: é exatamente a lei dos cossenos de geometria aplicada ao triângulo que tem lados iguais aos vetores quando se coloca um encostado na cabeça do outro.)
Passo 3
Aplicando a fórmula da etapa anterior com os valores numéricos:
Então
Calcule passo a passo os termos:
Somando:
Portanto
Passo 4
Avaliar a raiz quadrada com cuidado para obter o valor numérico útil na prova. Podemos escrever
e então
Uma aproximação numérica (bastante precisa) é
(Detalhe:
dá aproximadamente
, logo é um arredondamento consistente.)
Passo 5
Agora vamos achar o ângulo
que a resultante faz com a corda do cachorro A. A maneira mais direta e didática é decompor os vetores em componentes cartesianas: colocar a força do cachorro A ao longo do eixo
positivo. Assim:
- Componentes da força A:
- Componentes da força B (ela forma
com A):
(Recordando:
e
.)
Passo 6
Somando componentes para obter a resultante:
O ângulo
entre a resultante e a direção de A (eixo
) satisfaz
Portanto
Passo 7
Avaliação numérica do ângulo:
logo
(mais precisamente cerca de
; arredondando para uma casa decimal dá
.)
Passo 8
Resumo rápido de verificação: pode-se verificar que a magnitude obtida a partir das componentes,
coincide com o valor calculado pela lei dos cossenos, portanto os cálculos são consistentes.