Dois capacitores de placas paralelas, de capacitâncias C1=15 mu F e C2=10 mu F, estão inicialmente descarregados. Um dielétrico de constante dielétrica kappa=4 é inserido no segundo capacitor, de forma a preencher totalmente o espaço entre as placas. Após a inserção do dielétrico, eles são então conectados em paralelo a uma fonte ideal de fem varepsilon=12 V e carregados por um longo tempo. Por fim, a fonte é retirada, deixando apenas os capacitores em paralelo, sendo o segundo ainda com o dielétrico dentro.
Qual a energia total armazenada no sistema após a retirada do dielétrico? A energia aumentou ou diminuiu com a retirada do dielétrico?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois capacitores de placas paralelas:
  • Capacitor 1 (C₁): 15 μF
  • Capacitor 2 (C₂): 10 μF
Inicialmente, ambos estão descarregados. A gente vai inserir um dielétrico no C₂, conectar os dois capacitores a uma fonte de 12 V, carregar por um tempo, retirar a fonte e depois remover o dielétrico. A pergunta é qual a energia total armazenada no sistema após retirar o dielétrico e se a energia aumentou ou diminuiu com essa retirada.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de capacitância com dielétrico, energia armazenada em capacitores e como a energia se comporta quando introduzimos ou removemos dielétricos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a capacitância de um capacitor com dielétrico é dada por:
C = kappa C0
onde:
  • C'2 = kappa C2 = 4 times 10,mu F = 40,mu F é a constante dielétrica,
  • é a capacitância sem o dielétrico.
No nosso caso, o dielétrico só está no C₂ e tem . Então, a capacitância do C₂ com o dielétrico fica:

Passo 3

Agora, os dois capacitores estão conectados em paralelo à fonte de 12 V. Quando capacitores estão em paralelo, a capacitância total é a soma das capacitâncias individuais. Então:
Ctotal = C1 + C'2 = 15,mu F + 40,mu F = 55,mu F

Passo 4

A energia armazenada em um capacitor é dada por:
U = 12 C V^2
Vamos calcular a energia total armazenada no sistema após carregar os capacitores:
Uinicial = 12 times 55,mu F times (12,V)^2
Uinicial = 12 times 55 times 10^-6,F times 144,V^2
Uinicial = 12 times 55 times 10^-6 times 144
Uinicial = 3,96 times 10^-3,J
Uinicial = 3,96,mJ

Passo 5

Agora, vamos retirar o dielétrico do C₂. Quando removemos o dielétrico, a capacitância do C₂ volta ao valor original:
C2 = 10,mu F
Então, a nova capacitância total do sistema em paralelo é:
Ctotalnovo = C1 + C2 = 15,mu F + 10,mu F = 25,mu F

Passo 6

Como a fonte foi retirada, a carga total no sistema permanece a mesma antes e depois da retirada do dielétrico. A carga total inicialmente era:
Qinicial = Ctotal times V = 55,mu F times 12,V = 660,mu C
Após retirar o dielétrico, a nova capacitância é 25 μF, então a nova tensão no sistema será:
Vnovo = QCtotalnovo = 660,mu C25,mu F = 26,4,V

Passo 7

Agora, vamos calcular a nova energia armazenada no sistema após a retirada do dielétrico:
Unovo = 12 Ctotalnovo Vnovo^2
Unovo = 12 times 25,mu F times (26,4,V)^2
Unovo = 12 times 25 times 10^-6,F times 696,96,V^2
Unovo = 12 times 25 times 10^-6 times 696,96
Unovo = 8,712 times 10^-3,J
Unovo = 8,712,mJ

Resposta

A energia total armazenada no sistema após a retirada do dielétrico é de aproximadamente 8,712 mJ. Com a retirada do dielétrico, a energia aumentou.

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