As transições eletrônicas entre níveis quânticos é um problema que depende do tempo, da distribuição de carga e da emissão ou absorção de um fóton. Do ponto de vista da Física Quântica a distribuição de carga depende da densidade de probabilidade, então não adianta usar aqui o modelo clássico de Bohr. Este problema trata sobre esse assunto. Considere um elétron confinado na direção
(átomo 1D), e que pode ocupar o nivel de energia
ou o nivel de energia
,
. (a) Calcule a distribuição de carga para o átomo não excitado. Explique porquê o elétron não emite um fotón. (b) Calcule a distribuição de carga para o átomo excitado. Analizando o resultado explique porquê o elétron emite radiação (emite um fóton). Calcule a frequência do fóton emitido.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem um elétron num átomo 1D que pode estar em dois níveis de energia: o nível fundamental (n=1) com energia $ E_1 $ e a função de onda $ \psi_1(x) $, ou um nível excitado (n=2) com energia $ E_2 $ e função de onda $ \psi_2(x) $. Nosso objetivo aqui é:
a) Calcular a distribuição de carga quando o átomo está no estado fundamental e entender por que o elétron não emite um fóton.
b) Fazer o mesmo para o estado excitado, entender por que aí o elétron emite um fóton e calcular a frequência desse fóton.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de Mecânica Quântica, como funções de onda e densidade de probabilidade, além de entender a relação entre transições de energia e emissão de fótons.
Passo 2
Primeiro, vamos para a parte a: calcular a distribuição de carga para o átomo não excitado, ou seja, quando o elétron está no estado fundamental $ n=1 $.
A distribuição de carga $ \rho(x) $ está relacionada com a densidade de probabilidade da posição do elétron. Na Mecânica Quântica, a densidade de probabilidade é dada por $ |\psi(x)|^2 $, onde $ \psi(x) $ é a função de onda.
Então, para o estado fundamental:
Passo 3
Agora, precisamos entender por que, nesse estado fundamental, o elétron não emite um fóton.
No estado fundamental, o elétron está no nível mais baixo de energia possível. Não há transição para um nível de energia mais baixo porque já está no mínimo. A emissão de um fóton ocorre quando o elétron cai de um nível de energia mais alto para um nível mais baixo, liberando a diferença de energia na forma de fóton.
Como não há nível abaixo do estado fundamental, o elétron não pode emitir um fóton nesse estado. Além disso, no estado fundamental, a densidade de probabilidade é estável e não há oscilação temporal que geraria radiação eletromagnética.
Passo 4
Agora vamos para a parte b: calcular a distribuição de carga para o átomo excitado, ou seja, quando o elétron está no estado $ n=2 $.
Novamente, a distribuição de carga $ \rho(x) $ é dada por:
Aqui, $ \psi_2(x) $ é a função de onda do estado excitado.
Passo 5
Agora, vamos analisar por que, nesse estado excitado, o elétron emite radiação, ou seja, um fóton.
Quando o elétron está no estado excitado $ n=2 $, ele pode cair para um estado de energia mais baixo, como $ n=1 $. Essa transição libera a diferença de energia entre os dois estados na forma de um fóton. Diferente do estado fundamental, aqui há uma transição possível para um nível de energia mais baixo, o que permite a emissão de radiação.
Passo 6
Por fim, vamos calcular a frequência $ \nu $ do fóton emitido. A energia do fóton é igual à diferença de energia entre os dois níveis:
E a relação entre energia e frequência do fóton é dada por:
onde $ h $ é a constante de Planck.
Então, podemos encontrar a frequência $ \nu $ usando:
Resposta
a) A distribuição de carga para o átomo não excitado é $ \rho(x) = |\psi_1(x)|^2 $. O elétron não emite um fóton porque está no nível de energia mais baixo possível e não pode perder mais energia.
b) Para o átomo excitado, a distribuição de carga é $ \rho(x) = |\psi_2(x)|^2 $. O elétron emite radiação ao transitar de $ n=2 $ para $ n=1 $, liberando um fóton com frequência $ \nu = \frac{E_2 - E_1}{h} $.