Se a posição de uma partícula é dada por
, onde x está em metros e t em segundos, determine:
a) A posição, a velocidade e a aceleração em t=6s;
b) A coordenada positiva máxima alcançada pela partícula;
c) A velocidade positiva máxima alcançada pela partícula;
d) Os instantes em que a partícula encontra-se em repouso;
e) Os instantes em que a aceleração da partícula é igual a zero;
f) A velocidade média e a velocidade escalar média da partícula entre os instantes
s e
;
a) A posição, a velocidade e a aceleração em t=6s;
b) A coordenada positiva máxima alcançada pela partícula;
c) A velocidade positiva máxima alcançada pela partícula;
d) Os instantes em que a partícula encontra-se em repouso;
e) Os instantes em que a aceleração da partícula é igual a zero;
f) A velocidade média e a velocidade escalar média da partícula entre os instantes
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui, a gente está trabalhando com movimento de partículas na física, especificamente analisando a posição, velocidade e aceleração de uma partícula ao longo do tempo. Vamos precisar usar cálculo diferencial para derivar as funções de posição e obter velocidade e aceleração. Vamos lá!
Passo 2
a) A posição, a velocidade e a aceleração em t=6s
Primeiro, vamos achar a posição da partícula em t=6 segundos. A função posição é dada por:
Basta substituir t por 6:
Calculando:
Agora, para a velocidade, precisamos derivar a função posição em relação ao tempo:
Substituindo t=6:
Para a aceleração, derivamos a função velocidade:
Substituindo t=6:
Passo 3
b) A coordenada positiva máxima alcançada pela partícula
Para encontrar a coordenada máxima, vamos procurar onde a velocidade é zero, já que nesse ponto a partícula muda de direção.
Usamos a função velocidade:
Igualamos a zero:
Resolvendo a equação quadrática:
Considerando apenas o tempo positivo:
Agora, substituímos esse valor na função posição:
Passo 4
c) A velocidade positiva máxima alcançada pela partícula
Para encontrar a velocidade máxima, derivamos a função velocidade para obter a aceleração e igualamos a zero:
Igualando a aceleração a zero:
Substituímos esse tempo na função velocidade:
Passo 5
d) Os instantes em que a partícula encontra-se em repouso
A partícula está em repouso quando a velocidade é zero. Já resolvemos isso no passo 3:
E também pode haver outro instante:
Mas esse valor é negativo, então desconsideramos. Portanto, apenas em t ≈ 2.434 s a partícula está em repouso.
Passo 6
e) Os instantes em que a aceleração da partícula é igual a zero
Igualamos a aceleração a zero:
Então, em t = 0,833 s a aceleração é zero.
Passo 7
f) A velocidade média e a velocidade escalar média da partícula entre os instantes
s e
s
A velocidade média é a variação da posição dividido pelo intervalo de tempo:
Calculamos x(2):
Já sabemos que x(6) = -648 m, então:
A velocidade escalar média considera apenas a magnitude da velocidade independente da direção:
Resposta
a) Em t=6s, a posição é -648 m, a velocidade é -450 m/s e a aceleração é -186 m/s².