Se a posição de uma partícula é dada por x=18 t+15 t^2-6 t^3, onde x está em metros e t em segundos, determine:
a) A posição, a velocidade e a aceleração em t=6s;
b) A coordenada positiva máxima alcançada pela partícula;
c) A velocidade positiva máxima alcançada pela partícula;
d) Os instantes em que a partícula encontra-se em repouso;
e) Os instantes em que a aceleração da partícula é igual a zero;
f) A velocidade média e a velocidade escalar média da partícula entre os instantes t1=2 s e t2=6 s;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui, a gente está trabalhando com movimento de partículas na física, especificamente analisando a posição, velocidade e aceleração de uma partícula ao longo do tempo. Vamos precisar usar cálculo diferencial para derivar as funções de posição e obter velocidade e aceleração. Vamos lá!

Passo 2

a) A posição, a velocidade e a aceleração em t=6s
Primeiro, vamos achar a posição da partícula em t=6 segundos. A função posição é dada por:
x = 18t + 15t^2 - 6t^3
Basta substituir t por 6:
x(6) = 18(6) + 15(6)^2 - 6(6)^3
Calculando:
x(6) = 108 + 15(36) - 6(216) = 108 + 540 - 1296 = -648 metros
Agora, para a velocidade, precisamos derivar a função posição em relação ao tempo:
v(t) = dxdt = 18 + 30t - 18t^2
Substituindo t=6:
v(6) = 18 + 30(6) - 18(6)^2 = 18 + 180 - 648 = -450 m/s
Para a aceleração, derivamos a função velocidade:
a(t) = dvdt = 30 - 36t
Substituindo t=6:
a(6) = 30 - 36(6) = 30 - 216 = -186 m/s^2

Passo 3

b) A coordenada positiva máxima alcançada pela partícula
Para encontrar a coordenada máxima, vamos procurar onde a velocidade é zero, já que nesse ponto a partícula muda de direção.
Usamos a função velocidade:
v(t) = 18 + 30t - 18t^2
Igualamos a zero:
18 + 30t - 18t^2 = 0 -18t^2 + 30t + 18 = 0 Dividindo por -6: 3t^2 - 5t - 3 = 0
Resolvendo a equação quadrática:
t = 5 pm raiz25 + 366 = 5 pm raiz616
Considerando apenas o tempo positivo:
t = 5 + raiz616 approx 2.434 s
Agora, substituímos esse valor na função posição:
x(2.434) = 18(2.434) + 15(2.434)^2 - 6(2.434)^3 approx 43.812 + 88.156 - 85.201 approx 46.767 metros

Passo 4

c) A velocidade positiva máxima alcançada pela partícula
Para encontrar a velocidade máxima, derivamos a função velocidade para obter a aceleração e igualamos a zero:
v(t) = 18 + 30t - 18t^2 a(t) = dvdt = 30 - 36t
Igualando a aceleração a zero:
30 - 36t = 0 t = 3036 = 56 s
Substituímos esse tempo na função velocidade:
v(56) = 18 + 30(56) - 18(56)^2 = 18 + 25 - 18(2536) = 43 - 45036 = 43 - 12.5 = 30.5 m/s

Passo 5

d) Os instantes em que a partícula encontra-se em repouso
A partícula está em repouso quando a velocidade é zero. Já resolvemos isso no passo 3:
t = 5 + raiz616 approx 2.434 s
E também pode haver outro instante:
t = 5 - raiz616
Mas esse valor é negativo, então desconsideramos. Portanto, apenas em t ≈ 2.434 s a partícula está em repouso.

Passo 6

e) Os instantes em que a aceleração da partícula é igual a zero
Igualamos a aceleração a zero:
a(t) = 30 - 36t = 0 t = 3036 = 56 s
Então, em t = 0,833 s a aceleração é zero.

Passo 7

f) A velocidade média e a velocidade escalar média da partícula entre os instantes t1=2 s e t2=6 s
A velocidade média é a variação da posição dividido pelo intervalo de tempo:
vmédia = x(6) - x(2)6 - 2 é
Calculamos x(2):
x(2) = 18(2) + 15(2)^2 - 6(2)^3 = 36 + 60 - 48 = 48 metros
Já sabemos que x(6) = -648 m, então:
vmédia = -648 - 484 = -6964 = -174 m/s é
A velocidade escalar média considera apenas a magnitude da velocidade independente da direção:
vescalar média = |x(6) - x(2)|6 - 2 = |-648 - 48|4 = 6964 = 174 m/s é

Resposta

a) Em t=6s, a posição é -648 m, a velocidade é -450 m/s e a aceleração é -186 m/s².

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