Dois carros, A e B, se deslocam ao longo de uma linha reta. A distância de A ao ponto inicial é dada em função do tempo por xA(t)=alpha t+beta t^2, com alpha=2,60 m / s e beta=1,2 m / s^2. A distância de B ao ponto inicial é dada em função do tempo por xB(t)=gamma t^2-de, onde gamma=2,80 m / s^2 e de. (d) Em que instante(s) os carros A e B possuem a mesma aceleração?

Passo 1

Beleza, então a gente tem dois carros, o A e o B, que estão se movendo numa linha reta. As posições deles em função do tempo são dadas por funções matemáticas. O que a gente precisa descobrir é em que momento o A e o B têm a mesma aceleração. Isso envolve conceitos de cinemática, especificamente derivadas para encontrar velocidade e aceleração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que aceleração é a segunda derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja, pra achar a aceleração de cada carro, a gente precisa derivar a função de posição duas vezes.

Passo 3

Vamos começar com o carro A. A posição dele é dada por:
xA(t) = alpha t + beta t^2
Onde alpha = 2,60 , m/s e beta = 1,2 , m/s^2.
Primeira derivada (velocidade):
vA(t) = dxAdt = alpha + 2beta t
Segunda derivada (aceleração):
aA(t) = dvAdt = 2beta
Substituindo beta:
aA(t) = 2 times 1,2 = 2,4 , m/s^2
Então, a aceleração do carro A é constante: 2,4 , m/s^2.

Passo 4

Agora, vamos para o carro B. A posição dele é:
xB(t) = gamma t^2 - de
Onde gamma = 2,80 , m/s^2 e de.
Primeira derivada (velocidade):
vB(t) = dxBdt = 2gamma t - 3de
Segunda derivada (aceleração):
aB(t) = dvBdt = 2gamma - 6de
Substituindo gamma e de:
aB(t) = 2 times 2,8 - 6 times 0,20 times t
aB(t) = 5,6 - 1,2t

Passo 5

Queremos saber quando as acelerações são iguais, então igualamos aA(t) e aB(t):
2,4 = 5,6 - 1,2t
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar t:
1,2t = 5,6 - 2,4
1,2t = 3,2
t = 3,21,2
t = 3212
t = 83
t approx 2,67 , segundos

Resposta

Os carros A e B possuem a mesma aceleração aproximadamente em $ t = 2,!67 $ segundos.

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