Uma fábrica monitora o desempenho de suas máquinas para identificar possíveis relações entre a temperatura operacional (X) e o número de falhas por dia (Y). Foram coletados os seguintes dados ao longo de 5 dias:
Dia Temperatura (X) N^0 de falhas (Y)
1 60 2
2 65 3
3 70 5
4 75 7
5 80 8
Calcule o coeficiente de correlação linear entre as duas variáveis apresentadas.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Queremos descobrir se há uma relação entre a temperatura operacional das máquinas (X) e o número de falhas por dia (Y) na fábrica. Para isso, vamos calcular o coeficiente de correlação linear entre essas duas variáveis. Esse coeficiente nos mostra se existe uma relação direta, inversa ou nenhuma relação entre elas.

Passo 2

Primeiro, precisamos organizar os dados fornecidos:
Dia Temperatura (X) Número de falhas (Y)
1 60 2
2 65 3
3 70 5
4 75 7
5 80 8

Passo 3

Para calcular o coeficiente de correlação linear, usaremos a fórmula do coeficiente de Pearson:
r = n(sum XY) - (sum X)(sum Y)raiz[nsum X^2 - (sum X)^2][nsum Y^2 - (sum Y)^2]
Onde:
  • n é o número de pares de dados.
  • sum XY é a soma dos produtos de X e Y.
  • sum X e sum Y são as somas de X e Y, respectivamente.
  • sum X^2 e sum Y^2 são as somas dos quadrados de X e Y, respectivamente.

Passo 4

Vamos calcular cada uma dessas somas passo a passo.
Primeiro, calculamos sum X, sum Y, sum XY, sum X^2 e sum Y^2.
Dia X Y XY X^2 Y^2
1 60 2 120 3600 4
2 65 3 195 4225 9
3 70 5 350 4900 25
4 75 7 525 5625 49
5 80 8 640 6400 64
Soma 350 25 1830 25750 151

Passo 5

Agora, vamos substituir esses valores na fórmula do coeficiente de Pearson.
Primeiro, calculamos o numerador:
n(sum XY) - (sum X)(sum Y) = 5 times 1830 - 350 times 25 = 9150 - 8750 = 400
Em seguida, calculamos o denominador:
raiz[nsum X^2 - (sum X)^2][nsum Y^2 - (sum Y)^2] = raiz[5 times 25750 - 350^2][5 times 151 - 25^2] = raiz[128750 - 122500][755 - 625] = raiz6250 times 130 = raiz812500 approx 901.3878

Passo 6

Agora, dividimos o numerador pelo denominador para encontrar o coeficiente de correlação:
r = 400901.3878 approx 0,444

Resposta

O coeficiente de correlação linear entre a temperatura operacional e o número de falhas por dia é aproximadamente 0,444.

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